Resolva os exercícios a seguir utilizando o método de substituição: integral 3(1+2 x)^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método de substituição. Esse método é útil quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. Aqui, temos , que é uma função dentro de outra função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir para simplificar a integral. Vamos chamar o que está dentro dos parênteses de u = 1 + 2x . Então:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de du/dx = 2 em relação a du = 2 dx , que é :
Isso significa que:

Passo 4

Precisamos expressar dx = du2 em termos de para substituir na integral. Isolando :

Passo 5

Vamos substituir integral 3(1+2x)^4 dx = integral 3u^4 cdot du2 e na integral original:

Passo 6

Agora, simplificamos a constante:
integral 3u^4 cdot du2 = 32 integral u^4 du

Passo 7

Integrando 32 integral u^4 du = 32 cdot u^55 + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Simplificando a expressão:
32 cdot u^55 = 310 u^5

Passo 9

Agora, substituímos 310 u^5 = 310 (1 + 2x)^5 de volta por :

Resposta

A integral é igual a .

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