Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integraçāo por partes. integral arccotg 2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a técnica de integração por partes. Esse método é muito útil quando temos o produto de duas funções. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula de integração por partes e como escolher as partes corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, a gente precisa escolher qual parte da integral vai ser u = arccot(2x) e dv = dx e qual vai ser . Uma boa regra é escolher como a função que se simplifica quando derivamos.
No nosso caso, vamos escolher:

Passo 3

Agora, vamos calcular du = ddx[arccot(2x)] , dx e ddx[arccot(x)] = -11 + x^2 :
Primeiro, derivamos du = -21 + (2x)^2 , dx = -21 + 4x^2 , dx :
Sabemos que a derivada da é:
Aplicando a regra da cadeia para :
v = integral dx = x
Agora, integramos para encontrar :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral t = 1 + 4x^2 então dt = 8x , dx Rightarrow dt8 = x , dx . Para isso, vamos usar uma substituição simples.
Seja:
2 integral x1 + 4x^2 , dx = 2 cdot integral 1t cdot dt8 = 28 integral 1t , dt = 14 ln|t| + C ã
Substituindo na integral:
14 ln(1 + 4x^2) + C
Voltando para :

Passo 6

Finalmente, juntamos tudo:

Resposta

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