Resolva os exercícios a seguir utilizando o método de substituição:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular a integral . Isso é parte do cálculo de integrais usando o método de substituição. Vamos precisar identificar uma parte da expressão que a gente pode substituir por uma outra variável para simplificar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais fácil de resolver. Olhando para a expressão , vemos que dentro do parênteses está . Vamos chamar isso de :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir o na integral. Calculando a derivada:
Isso significa que:
Perfeito! Vemos que temos na nossa integral original, exatamente o que representa. Então, podemos substituir na integral.

Passo 4

Substituindo e na integral, ela fica:
Agora, essa é uma integral mais simples de resolver. Para integrar , usamos a regra da potência da integração.

Passo 5

Aplicando a regra da potência:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por último, precisamos substituir de volta para a expressão original em termos de :

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Determine, se existirem, os zeros das funções quadráticas abaixo:
c)
Resolva os exercícios a seguir utilizando o método de substituição:
Resolva os exercícios a seguir utilizando o método de substituição:
Uma bola é lançada ao ar. Suponham que sua altura , em metros, segundos após o lançamento, seja . Determine:
a) o instante em que a bola atinge a sua altura máxima;