Resolva os exercícios a seguir utilizando o método de substituição:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando o método de substituição. Isso faz parte do cálculo integral, mais especificamente integração por substituição, que é útil quando temos uma função composta. Vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que podemos chamar de
na substituição. Olhando para a função dentro do cosseno, temos
. Então, vamos definir:
Isso vai nos ajudar a simplificar a integral.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
na integral. Calculando a derivada:
Ou seja:
Percebemos que
está presente na nossa integral original, o que é ótimo para a substituição.
Passo 4
Substituindo na integral original, temos:
Agora a integral está em termos de
, o que é mais fácil de resolver.
Passo 5
A integral de
em relação a
é
. Então, vamos integrar:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, substituímos
de volta pela expressão original em termos de
:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Resolva os exercícios a seguir utilizando o método de substituição:
Determine, se existirem, os zeros das funções quadráticas abaixo:
c)
c)
Uma bola é lançada ao ar. Suponham que sua altura
, em metros,
segundos após o lançamento, seja
. Determine:
a) o instante em que a bola atinge a sua altura máxima;
a) o instante em que a bola atinge a sua altura máxima;
Resolva os exercícios a seguir utilizando o método de substituição: