Resolva os exercícios a seguir utilizando o método de substituição:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método de substituição. Isso faz parte do cálculo integral, mais especificamente integração por substituição, que é útil quando temos uma função composta. Vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que podemos chamar de na substituição. Olhando para a função dentro do cosseno, temos . Então, vamos definir:
Isso vai nos ajudar a simplificar a integral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir na integral. Calculando a derivada:
Ou seja:
Percebemos que está presente na nossa integral original, o que é ótimo para a substituição.

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:
Agora a integral está em termos de , o que é mais fácil de resolver.

Passo 5

A integral de em relação a é . Então, vamos integrar:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos de volta pela expressão original em termos de :

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Resolva os exercícios a seguir utilizando o método de substituição:
Determine, se existirem, os zeros das funções quadráticas abaixo:
c)
Uma bola é lançada ao ar. Suponham que sua altura , em metros, segundos após o lançamento, seja . Determine:
a) o instante em que a bola atinge a sua altura máxima;
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