Resolva os exercícios a seguir utilizando o método de substituição: integral 2 x cos (x^2+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método de substituição. Isso faz parte do cálculo integral, mais especificamente integração por substituição, que é útil quando temos uma função composta. Vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que podemos chamar de u = x^2 + 1 na substituição. Olhando para a função dentro do cosseno, temos . Então, vamos definir:
Isso vai nos ajudar a simplificar a integral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 2x em relação a du = 2x , dx para substituir na integral. Calculando a derivada:
Ou seja:
Percebemos que está presente na nossa integral original, o que é ótimo para a substituição.

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:
integral 2x cos (x^2+1) dx = integral cos(u) , du
Agora a integral está em termos de , o que é mais fácil de resolver.

Passo 5

A integral de integral cos(u) , du = sin(u) + C em relação a é . Então, vamos integrar:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos sin(u) + C = sin(x^2 + 1) + C de volta pela expressão original em termos de :

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados