Resolva. $\frac{d x}{d t}=\ln t
Passo 1
Então, a gente tem a equação diferencial
. Isso significa que a derivada de
em relação a
é igual ao logaritmo natural de
. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, mais especificamente, integração.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis para facilitar a integração. Podemos reescrever a equação como:
Isso basicamente diz que uma pequena mudança em
é igual a
multiplicado por uma pequena mudança em
.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar a função
. Integraremos:
A integral de
é simplesmente
, então temos:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Para resolver a integral
, usamos a técnica de integração por partes. Lembrando que:
Então, substituindo de volta na nossa equação para
, ficamos com:
Resposta
Exercícios relacionados
Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
Demonstre
.
Resolva. $\frac{d y}{d x}=-2 y+\cos 2 x
Resolva. $\frac{d x}{d t}=x+\sin t