Resolva. $\frac{d x}{d t}=\ln t

Passo 1

Então, a gente tem a equação diferencial . Isso significa que a derivada de em relação a é igual ao logaritmo natural de . Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, mais especificamente, integração.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis para facilitar a integração. Podemos reescrever a equação como:
Isso basicamente diz que uma pequena mudança em é igual a multiplicado por uma pequena mudança em .

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar a função . Integraremos:
A integral de é simplesmente , então temos:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Para resolver a integral , usamos a técnica de integração por partes. Lembrando que:
Então, substituindo de volta na nossa equação para , ficamos com:

Resposta

Exercícios relacionados

Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
Demonstre .
Resolva. $\frac{d y}{d x}=-2 y+\cos 2 x
Resolva. $\frac{d x}{d t}=x+\sin t