Resolva. $\frac{d x}{d t}=\ln t

Passo 1

Então, a gente tem a equação diferencial . Isso significa que a derivada de x em relação a t é igual ao logaritmo natural de t. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, mais especificamente, integração.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis para facilitar a integração. Podemos reescrever a equação como:
Isso basicamente diz que uma pequena mudança em x é igual a multiplicado por uma pequena mudança em t.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar a função x(t). Integraremos:
A integral de é simplesmente x, então temos:
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para resolver a integral , usamos a técnica de integração por partes. Lembrando que:
Então, substituindo de volta na nossa equação para x, ficamos com:

Resposta

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