Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
f(x)=integral1^x 1t^2+1 d t & f(x)=integralx^pi raiz1+s e c^2 t d t f(x)=integral1^e^2 x ln t d t & f(x)=integral1-2 x^1 t^31+t^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo pra encontrar a derivada de algumas funções que são definidas como integrais. Basicamente, precisamos saber como derivar integrais onde os limites de integração dependem de . Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a regra de diferenciação das integrais, que é o que o teorema fundamental nos ensina.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função:
f(x) = integral1^x 1t^2 + 1 , dt
Segundo a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo, se temos uma função definida como f'(x) = 1x^2 + 1 , então a derivada é simplesmente . Ou seja, a derivada da integral em relação a é a função dentro da integral avaliada em .
Aplicando isso:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda função:
f(x) = integralx^pi raiz1 + sec^2 t , dt
Aqui, temos a integral com o limite inferior sendo f'(x) = g(v(x)) cdot v'(x) - g(u(x)) cdot u'(x) e o superior sendo constante f'(x) = 0 - raiz1 + sec^2 x cdot 1 = -raiz1 + sec^2 x . A regra para derivar nesse caso é um pouco diferente. Se f'(x) = -raizsec^2 x = -|sec x| , então:
f'(x) = -sec x
No nosso caso, (derivada zero) e (derivada 1). Então:
Podemos simplificar :
Sabemos que , então:
Mas como é positivo no domínio considerado, podemos simplificar para:

Passo 4

Vamos para a terceira função:
f(x) = integral1^e^2x ln t , dt
Aqui, o limite superior depende de f'(x) = ln(e^2x) cdot ddx(e^2x) = ln(e^2x) cdot 2e^2x . Usando novamente a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo:
Se ln(e^2x) = 2x , então f'(x) = 2x cdot 2e^2x = 4x e^2x .
Aplicando isso:
Simplificando :
Então:

Passo 5

Por último, a quarta função:
f(x) = integral1 - 2x^1 t^31 + t^2 , dt
Neste caso, o limite inferior depende de f'(x) = -g(u(x)) cdot u'(x) e o superior é constante. Usando a regra de diferenciação para limites inferiores:
Se f'(x) = -(1 - 2x)^31 + (1 - 2x)^2 cdot (-2) = 2(1 - 2x)^31 + (1 - 2x)^2 , então:
Aplicando isso:

Resposta

As derivadas das funções são:

Exercícios relacionados