Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo pra encontrar a derivada de algumas funções que são definidas como integrais. Basicamente, precisamos saber como derivar integrais onde os limites de integração dependem de
. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a regra de diferenciação das integrais, que é o que o teorema fundamental nos ensina.
Passo 2
Vamos começar com a primeira função:
Segundo a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo, se temos uma função definida como
, então a derivada
é simplesmente
. Ou seja, a derivada da integral em relação a
é a função dentro da integral avaliada em
.
Aplicando isso:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda função:
Aqui, temos a integral com o limite inferior sendo
e o superior sendo constante
. A regra para derivar nesse caso é um pouco diferente. Se
, então:
No nosso caso,
(derivada zero) e
(derivada 1). Então:
Podemos simplificar
:
Sabemos que
, então:
Mas como
é positivo no domínio considerado, podemos simplificar para:
Passo 4
Vamos para a terceira função:
Aqui, o limite superior depende de
. Usando novamente a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo:
Se
, então
.
Aplicando isso:
Simplificando
:
Então:
Passo 5
Por último, a quarta função:
Neste caso, o limite inferior depende de
e o superior é constante. Usando a regra de diferenciação para limites inferiores:
Se
, então:
Aplicando isso:
Resposta
As derivadas das funções são:
Exercícios relacionados
Demonstre
.
Uma tabela de valores de uma função crescente
é dada. Use a tabela para encontrar uma estimativa inferior e superior para
.
|
0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
---|---|---|---|---|---|---|
|
-42 | -37 | -25 | -6 | 15 | 36 |
Resolva. $\frac{d x}{d t}=\ln t
Resolva. $\frac{d y}{d x}=-2 y+\cos 2 x