Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo pra encontrar a derivada de algumas funções que são definidas como integrais. Basicamente, precisamos saber como derivar integrais onde os limites de integração dependem de . Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a regra de diferenciação das integrais, que é o que o teorema fundamental nos ensina.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função:
Segundo a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo, se temos uma função definida como , então a derivada é simplesmente . Ou seja, a derivada da integral em relação a é a função dentro da integral avaliada em .
Aplicando isso:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda função:
Aqui, temos a integral com o limite inferior sendo e o superior sendo constante . A regra para derivar nesse caso é um pouco diferente. Se , então:
No nosso caso, (derivada zero) e (derivada 1). Então:
Podemos simplificar :
Sabemos que , então:
Mas como é positivo no domínio considerado, podemos simplificar para:

Passo 4

Vamos para a terceira função:
Aqui, o limite superior depende de . Usando novamente a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo:
Se , então .
Aplicando isso:
Simplificando :
Então:

Passo 5

Por último, a quarta função:
Neste caso, o limite inferior depende de e o superior é constante. Usando a regra de diferenciação para limites inferiores:
Se , então:
Aplicando isso:

Resposta

As derivadas das funções são:

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Demonstre .
Uma tabela de valores de uma função crescente é dada. Use a tabela para encontrar uma estimativa inferior e superior para .
0 5 10 15 20 25
-42 -37 -25 -6 15 36
Resolva. $\frac{d x}{d t}=\ln t
Resolva. $\frac{d y}{d x}=-2 y+\cos 2 x