Use a ideia acima para resolver os limites abaixo.
lim x 0 e^x-1-x-x^22x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x 0 e^x-1-x-x^22x^2
Aqui, estamos lidando com limites e expansões em série de Taylor. Vamos precisar entender como a função exponencial se comporta perto de para simplificar essa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a série de Taylor da função e^x = 1 + x + x^22 + x^36 + x^424 + dots em torno de :

Essa série nos permite aproximar com polinômios de grau maior conforme necessário.

Passo 3

Agora, substituímos essa série na expressão do numerador:
e^x - 1 - x - x^22 = (1 + x + x^22 + x^36 + dots) - 1 - x - x^22
Ao simplificar, os termos e^x - 1 - x - x^22 = x^36 + dots, e se cancelam:

Passo 4

Agora, nossa expressão original fica:
e^x-1-x-x^22x^2 = x^36 + dotsx^2
Dividindo cada termo do numerador por x^36x^2 + dots = x6 + dots:

Passo 5

Ao calcular o limite quando lim x 0 x6 = 0 se aproxima de 0, observamos que tende a 0:

Os termos de ordem superior ( ) também tendem a 0, então o limite total é 0.

Resposta

O limite é 0.

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