Resolva a inequação em forma de intervalos e represente o conjunto solução na reta real. 7/x < x/(x-2)

Passo 1

A gente tem a inequação . Vamos resolver isso usando álgebra, focando em frações e analisando os intervalos onde cada expressão é válida.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores de x que tornam as frações indefinidas. A fração não existe quando x = 0, e não existe quando x = 2. Então, x != 0 e x != 2.

Passo 3

Vamos trazer tudo para um lado da inequação para facilitar: . Para subtrair essas frações, precisamos de um denominador comum, que é .

Passo 4

Reescrevendo a inequação com o denominador comum fica: . Agora, vamos simplificar o numerador: .

Passo 5

O numerador simplificado é . Podemos fatorar o sinal negativo: . Então, a inequação fica: .

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por -1 (lembre que isso inverte o sinal da inequação), obtemos: .

Passo 7

Vamos analisar os sinais de cada parte:
  • Numerador: . O discriminante é , que é negativo, então o numerador é sempre positivo.
  • Denominador: . Precisamos verificar os intervalos onde ele é positivo ou negativo.

Passo 8

Vamos dividir a reta real em intervalos baseados nos pontos críticos x = 0 e x = 2:
  1. Para : x é negativo e x - 2 também é negativo, então é positivo.
  2. Para : x é positivo, mas x - 2 é negativo, então é negativo.
  3. Para x > 2: Tanto x quanto x - 2 são positivos, então é positivo.

Passo 9

Como o numerador é sempre positivo, a inequação será verdadeira quando o denominador for positivo. Ou seja, nos intervalos e x > 2.

Resposta

A solução da inequação é:
Na reta real, isso significa que os valores de x que satisfazem a inequação estão à esquerda de 0 e à direita de .

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