Resolva a inequação em forma de intervalos e represente o conjunto solução na reta real.
Passo 1
A gente tem a inequação
. Vamos resolver isso usando álgebra, focando em frações e analisando os intervalos onde cada expressão é válida.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores de
que tornam as frações indefinidas. A fração
não existe quando
, e
não existe quando
. Então,
e
.
Passo 3
Vamos trazer tudo para um lado da inequação para facilitar:
. Para subtrair essas frações, precisamos de um denominador comum, que é
.
Passo 4
Reescrevendo a inequação com o denominador comum fica:
. Agora, vamos simplificar o numerador:
.
Passo 5
O numerador simplificado é
. Podemos fatorar o sinal negativo:
. Então, a inequação fica:
.
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por
(lembre que isso inverte o sinal da inequação), obtemos:
.
Passo 7
Vamos analisar os sinais de cada parte:
- Numerador:
. O discriminante é , que é negativo, então o numerador é sempre positivo. - Denominador:
. Precisamos verificar os intervalos onde ele é positivo ou negativo.
Passo 8
Vamos dividir a reta real em intervalos baseados nos pontos críticos
e
:
- Para
: é negativo e também é negativo, então é positivo. - Para
: é positivo, mas é negativo, então é negativo. - Para
: Tanto quanto são positivos, então é positivo.
Passo 9
Como o numerador é sempre positivo, a inequação
será verdadeira quando o denominador for positivo. Ou seja, nos intervalos
e
.
Resposta
A solução da inequação é:
Na reta real, isso significa que os valores de
que satisfazem a inequação estão à esquerda de
e à direita de
.
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