Resolva a inequação:
.
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem aqui uma inequação do tipo polinomial:
. Nosso objetivo é descobrir para quais valores de
essa expressão é negativa. Para resolver isso, vamos precisar entender como fatorar expressões e analisar os sinais delas nas diferentes regiões do número real.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os fatores da expressão. Temos dois fatores aqui:
e
. Precisamos descobrir quando cada um desses fatores é positivo ou negativo.
Passo 3
Vamos começar analisando o primeiro fator,
. Para saber quando ele é negativo:
Então,
é negativo quando
é maior que 1.
Passo 4
Agora, vamos olhar para o segundo fator,
. Para entender o sinal dessa expressão, vamos calcular o discriminante da equação quadrática:
Como o discriminante é negativo (
), a equação quadrática não tem raízes reais e, portanto, o polinômio
é sempre positivo para qualquer valor real de
.
Passo 5
Agora que sabemos os sinais de cada fator:
-
é negativo quando e positivo quando . -
é sempre positivo.
Queremos que a multiplicação dos dois fatores seja negativa:
Como
é positivo, o sinal da expressão depende apenas de
. Para que a expressão seja negativa,
deve ser negativo.
Passo 6
Portanto, a inequação
é satisfeita quando:
Resposta
A solução da inequação é todo número real maior que 1, ou seja,
.
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