Resolva a inequação em termos de intervalos e represente o conjunto solução na reta real.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a inequação e mostrar a solução em intervalos na reta real. Aqui, estamos trabalhando com inequações polinomiais, que envolvem desigualdades com polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender como fatorar expressões polinomiais e analisar os sinais das expressões em diferentes intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a inequação para facilitar a resolução. Subtraímos dos dois lados para trazer tudo para um lado:

Passo 3

Agora, vamos fatorar a expressão . Uma maneira de fatorar é colocando em evidência:
Percebemos que é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:

Passo 4

Identificamos os pontos críticos onde a expressão muda de sinal. Esses pontos são as soluções da equação :
Esses valores dividem a reta real em quatro intervalos:

Passo 5

Vamos testar cada intervalo para ver onde a expressão é positiva:
  1. Para :
    • Vamos escolher .
    • Substituindo: (negativo).
  2. Para :
    • Vamos escolher .
    • Substituindo: (positivo).
  3. Para :
    • Vamos escolher .
    • Substituindo: (negativo).
  4. Para :
    • Vamos escolher .
    • Substituindo: (positivo).

Passo 6

Com base nos testes acima, a expressão é positiva nos intervalos onde e .

Resposta

A solução da inequação é:
E na reta real, fica assim:
Reta Real
(Imagine uma reta com intervalos destacados entre -1 e 0, e de 1 ao infinito.)

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Resolva a equação para .