Resolva a inequação em termos de intervalos e represente o conjunto solução na reta real.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a inequação
e mostrar a solução em intervalos na reta real. Aqui, estamos trabalhando com inequações polinomiais, que envolvem desigualdades com polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender como fatorar expressões polinomiais e analisar os sinais das expressões em diferentes intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a inequação para facilitar a resolução. Subtraímos
dos dois lados para trazer tudo para um lado:
Passo 3
Agora, vamos fatorar a expressão
. Uma maneira de fatorar é colocando
em evidência:
Percebemos que
é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
Passo 4
Identificamos os pontos críticos onde a expressão muda de sinal. Esses pontos são as soluções da equação
:
Esses valores dividem a reta real em quatro intervalos:
Passo 5
Vamos testar cada intervalo para ver onde a expressão
é positiva:
-
Para
: - Vamos escolher
. - Substituindo:
(negativo).
- Vamos escolher
-
Para
: - Vamos escolher
. - Substituindo:
(positivo).
- Vamos escolher
-
Para
: - Vamos escolher
. - Substituindo:
(negativo).
- Vamos escolher
-
Para
: - Vamos escolher
. - Substituindo:
(positivo).
- Vamos escolher
Passo 6
Com base nos testes acima, a expressão
é positiva nos intervalos onde
e
.
Resposta
A solução da inequação
é:
E na reta real, fica assim:
![Reta Real](https://i.imgur.com/yourimagelink.png)
(Imagine uma reta com intervalos destacados entre -1 e 0, e de 1 ao infinito.)
Exercícios relacionados
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Use a relação entre
e
dada no Exercício 39 para determinar o intervalo na escala Fahrenheit correspondente à temperatura no intervalo
.
Resolva a equação para
.