Resolva a inequação em termos de intervalos e represente o conjunto solução na reta real. -3 < 1/x <= 1

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a inequação . Isso significa que queremos encontrar todos os valores de que fazem a fração estar entre e . Para resolver essa inequação, vamos precisar trabalhar com frações e desigualdades, além de considerar os diferentes casos que podem ocorrer dependendo do valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a inequação original em duas partes para facilitar a resolução:
Vamos resolver cada uma dessas inequações separadamente.

Passo 3

Resolvendo a primeira parte:
Para resolver essa inequação, precisamos considerar que pode ser positivo ou negativo, pois isso afeta a direção da desigualdade quando multiplicamos ambos os lados por .
  • Caso 1:
    Multiplicamos ambos os lados por (positivo, portanto a desigualdade não muda):
    Dividindo ambos os lados por (negativo, a desigualdade inverte):
    Mas como , a solução desse caso é .
  • Caso 2:
    Multiplicamos ambos os lados por (negativo, a desigualdade inverte):
    Dividindo ambos os lados por (negativo, a desigualdade inverte novamente):
Portanto, a solução da primeira parte é:

Passo 4

Resolvendo a segunda parte:
Novamente, consideramos os casos de positivo e negativo.
  • Caso 1:
    Multiplicamos ambos os lados por (positivo, a desigualdade não muda):
    Portanto, .
  • Caso 2:
    Multiplicamos ambos os lados por (negativo, a desigualdade inverte):
    Isso sempre é verdadeiro para , então não adiciona restrições além de .
Portanto, a solução da segunda parte é:

Passo 5

Agora, vamos combinar as soluções das duas partes para encontrar os valores de que satisfazem ambas as inequações simultaneamente.
A primeira parte nos deu:
A segunda parte nos deu:
Vamos analisar as interseções:
  • Para :
    Também satisfaz . Então, essa parte está dentro da solução.
  • Para :
    e significam .
Portanto, a solução combinada é:

Resposta

O conjunto solução da inequação é:
Representando na reta real, são os intervalos:

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