Resolva a inequação em termos de intervalos e represente o conjunto solução na reta real.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a inequação
. Isso significa que queremos encontrar todos os valores de
que fazem a fração
estar entre
e
. Para resolver essa inequação, vamos precisar trabalhar com frações e desigualdades, além de considerar os diferentes casos que podem ocorrer dependendo do valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a inequação original em duas partes para facilitar a resolução:
Vamos resolver cada uma dessas inequações separadamente.
Passo 3
Resolvendo a primeira parte:
Para resolver essa inequação, precisamos considerar que
pode ser positivo ou negativo, pois isso afeta a direção da desigualdade quando multiplicamos ambos os lados por
.
-
Caso 1:Multiplicamos ambos os lados por
(positivo, portanto a desigualdade não muda): Dividindo ambos os lados por(negativo, a desigualdade inverte): Mas como, a solução desse caso é . -
Caso 2:Multiplicamos ambos os lados por
(negativo, a desigualdade inverte): Dividindo ambos os lados por(negativo, a desigualdade inverte novamente):
Portanto, a solução da primeira parte é:
Passo 4
Resolvendo a segunda parte:
Novamente, consideramos os casos de
positivo e negativo.
-
Caso 1:Multiplicamos ambos os lados por
(positivo, a desigualdade não muda): Portanto,. -
Caso 2:Multiplicamos ambos os lados por
(negativo, a desigualdade inverte): Isso sempre é verdadeiro para, então não adiciona restrições além de .
Portanto, a solução da segunda parte é:
Passo 5
Agora, vamos combinar as soluções das duas partes para encontrar os valores de
que satisfazem ambas as inequações simultaneamente.
A primeira parte nos deu:
A segunda parte nos deu:
Vamos analisar as interseções:
-
Para
: Também satisfaz. Então, essa parte está dentro da solução. -
Para
: e significam .
Portanto, a solução combinada é:
Resposta
O conjunto solução da inequação
é:
Representando na reta real, são os intervalos: