Resolva a inequação x^2 + 5x + 6 <= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação . Aqui, estamos lidando com uma inequação quadrática, que é quando temos uma desigualdade envolvendo um polinômio de segundo grau. Para resolver isso, vamos precisar fatorar a expressão quadrática e analisar em quais intervalos a inequação é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar fatorar o polinômio . Fatorar significa escrever o polinômio como o produto de dois binômios. Procuramos dois números que, quando multiplicados, dão 6 (o termo constante) e, quando somados, dão 5 (o coeficiente de ).

Passo 3

Os números que satisfazem essas condições são 2 e 3, porque:
  • x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
Então, podemos escrever:

Passo 4

Agora, substituímos de volta na inequação:
(x + 2)(x + 3) <= 0
Para resolver isso, precisamos descobrir onde o produto dos dois fatores é menor ou igual a zero. Isso acontece quando:
  • Um dos fatores é negativo e o outro é positivo.
  • Ou quando pelo menos um dos fatores é zero.

Passo 5

Encontramos os pontos críticos onde cada fator é zero:
Esses pontos dividem a linha dos números em três intervalos:

Passo 6

Vamos testar cada intervalo para ver onde a inequação é verdadeira:
  1. Para :
    • é negativo.
    • é negativo.
    • Produto: positivo (não satisfaz a inequação).
  2. Para :
    • é negativo ou zero.
    • é positivo ou zero.
    • Produto: negativo ou zero (satisfaz a inequação).
  3. Para :
    • é positivo.
    • é positivo.
    • Produto: positivo (não satisfaz a inequação).

Resposta

A solução da inequação -3 <= x <= -2 é o intervalo:

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