Resolva a inequação (x-2)(x-3) <= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação (x-2)(x-3) <= 0. Esse tipo de problema faz parte da matéria de Inequações Polinomiais. Para resolver, a gente vai precisar encontrar os valores que fazem cada fator igual a zero e depois analisar os intervalos formados por esses valores para ver onde o produto é menor ou igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os zeros da inequação, ou seja, os valores de x que fazem .
Para isso, igualamos cada fator a zero:
Então, os zeros são x = 2 e .

Passo 3

Agora, vamos dividir a reta numérica em intervalos baseados nesses zeros. Os intervalos são:
Vamos analisar o sinal de cada fator x - 2 e x - 3 em cada intervalo.

Passo 4

Intervalo 1:
  • x - 2: Como x é menor que 2, x - 2 é negativo.
  • x - 3: Como x é menor que 3, x - 3 também é negativo.
Multiplicando dois negativos, o resultado é positivo. Então, nesse intervalo.

Passo 5

Intervalo 2:
  • x - 2: Como x está entre 2 e 3, x - 2 é positivo.
  • x - 3: Como x ainda é menor que 3, x - 3 é negativo.
Multiplicando um positivo por um negativo, o resultado é negativo. Então, nesse intervalo.

Passo 6

Intervalo 3:
  • x - 2: Como x é maior que 2, x - 2 é positivo.
  • x - 3: Como x é maior que 3, x - 3 também é positivo.
Multiplicando dois positivos, o resultado é positivo. Então, nesse intervalo.

Passo 7

Agora, vamos lembrar que a inequação que queremos resolver é (x-2)(x-3) <= 0, ou seja, queremos onde o produto é menor ou igual a zero.
Analisando os intervalos:
  • No primeiro e terceiro intervalos, o produto é positivo, o que não satisfaz a inequação.
  • No segundo intervalo, o produto é negativo, satisfazendo a inequação.
  • Além disso, nos pontos x = 2 e , o produto é zero, que também satisfaz a inequação.

Resposta

A solução da inequação (x-2)(x-3) <= 0 é todo o conjunto de números reais entre 2 e 3, inclusive. Portanto,

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