La temperatura (en grados Celsius) en cualquier punto (
) de una placa circular de 10 metros de radio es:
donde x e y se miden en metros. Dibujar algunas curvas isotermas.
Passo 1
O exercício pede para a gente desenhar algumas curvas isotermas em uma placa circular de 10 metros de raio, onde a temperatura em qualquer ponto
é dada por
. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica e funções quadráticas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva isotérmica. Isotermas são linhas que conectam pontos com a mesma temperatura em um mapa ou superfície. No nosso caso, queremos encontrar as equações dessas linhas na placa.
Passo 3
Para encontrar as isotermas, fixamos o valor da temperatura
e resolvemos a equação
para
e
.
Passo 4
Vamos rearranjar a equação para isolar os termos com
e
:
Dividindo ambos os lados por 0.75:
Passo 5
Simplificando a fração:
Mas para facilitar, podemos definir diferentes valores para
e encontrar as equações correspondentes.
Passo 6
Vamos escolher alguns valores de
menores que 600 para garantir que
seja positivo:
-
: → Ponto central -
: -
:
Passo 7
Cada uma dessas equações representa círculos concêntricos na placa:
- Para
: Apenas o ponto central. - Para
: Círculo com raio metros. - Para
: Círculo com raio metros.
Passo 8
Como a placa tem raio de 10 metros, só os círculos com raio até 10 metros fazem sentido no contexto físico. Portanto, consideramos isotermas para valores de
que resultem em
:
-
: Ponto -
: (não cabe na placa) - Ajustando
para que o raio seja 10 metros:
Então, para
, a isotérmica é o contorno da placa.
Resposta
As curvas isotermas na placa são círculos concêntricos centrados em
com diferentes temperaturas. Por exemplo:
- Para
°C: ponto central . - Para
°C: circunferência com raio de 10 metros.
Essas isotermas mostram como a temperatura varia de maneira simétrica na placa.