La temperatura (en grados Celsius) en cualquier punto ( x, y ) de una placa circular de 10 metros de radio es: T = 600 - 0.75 x^2 - 0.75 y^2 donde x e y se miden en metros. Dibujar algunas curvas isotermas.

Passo 1

O exercício pede para a gente desenhar algumas curvas isotermas em uma placa circular de 10 metros de raio, onde a temperatura em qualquer ponto é dada por . Vamos usar conhecimentos de geometria analítica e funções quadráticas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva isotérmica. Isotermas são linhas que conectam pontos com a mesma temperatura em um mapa ou superfície. No nosso caso, queremos encontrar as equações dessas linhas na placa.

Passo 3

Para encontrar as isotermas, fixamos o valor da temperatura e resolvemos a equação para e .

Passo 4

Vamos rearranjar a equação para isolar os termos com e :
Dividindo ambos os lados por 0.75:

Passo 5

Simplificando a fração:
Mas para facilitar, podemos definir diferentes valores para e encontrar as equações correspondentes.

Passo 6

Vamos escolher alguns valores de menores que 600 para garantir que seja positivo:
  • : → Ponto central
  • :
  • :

Passo 7

Cada uma dessas equações representa círculos concêntricos na placa:
  • Para : Apenas o ponto central.
  • Para : Círculo com raio metros.
  • Para : Círculo com raio metros.

Passo 8

Como a placa tem raio de 10 metros, só os círculos com raio até 10 metros fazem sentido no contexto físico. Portanto, consideramos isotermas para valores de que resultem em :
  • : Ponto
  • : (não cabe na placa)
  • Ajustando para que o raio seja 10 metros:
Então, para , a isotérmica é o contorno da placa.

Resposta

As curvas isotermas na placa são círculos concêntricos centrados em com diferentes temperaturas. Por exemplo:
  • Para °C: ponto central .
  • Para °C: circunferência com raio de 10 metros.
    Essas isotermas mostram como a temperatura varia de maneira simétrica na placa.

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