Resolva as inequações abaixo

Passo 1

Vamos resolver a inequação:
Aqui, estamos lidando com a função logaritmo natural (ln), que está relacionada com exponenciação. Para resolver essa inequação, precisamos entender onde o argumento do logaritmo, ou seja, , é positivo e onde o logaritmo é maior ou igual a zero.

Passo 2

Primeiro, lembramos que o logaritmo natural está definido apenas para . Então, precisamos encontrar os valores de para os quais:

Passo 3

Vamos resolver a inequação quadrática . Para isso, encontramos as raízes da equação quadrática associada:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são e .

Passo 4

Agora, analisamos os intervalos determinados por essas raízes para saber onde a expressão é positiva:
  • Para
  • Para
  • Para
Testamos um valor em cada intervalo:
  • Se , então (negativo)
  • Se , então (negativo)
  • Se , então (positivo)
Portanto, a expressão é positiva quando ou .

Passo 5

Agora, voltamos à inequação original:
Sabemos que quando . Então, precisamos que:

Passo 6

Resolvemos a nova inequação:
Calculamos as raízes da equação :

Passo 7

Analisamos os intervalos determinados pelas raízes e :
  • Para
  • Para
  • Para
Testamos um valor em cada intervalo:
  • Se , então (positivo)
  • Se , então (negativo)
  • Se , então (positivo)
Portanto, a inequação é satisfeita quando ou .

Passo 8

Agora, juntamos as duas condi�es que encontramos:
  1. quando ou
  2. quando ou
Precisamos que ambas as condições sejam verdadeiras simultaneamente. Observamos que:
  • , que é menor que
  • , que é maior que
Portanto, as intersecções são:
  • Para e :
  • Para e :

Resposta

A solução da inequação é:

Exercícios relacionados

Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função , onde a variável é dada em anos e e são constantes.
Encontre as constantes e de modo que a população inicial seja igual a 1024 indivíduos e a população após 10 anos seja a metade da população inicial.
Calcule sabendo que
Classifique os números a seguir como racionais ou irracionais:
Realize as seguintes operações entre intervalos.