Resolva as inequações abaixo
Passo 1
Vamos resolver a inequação:
Aqui, estamos lidando com a função logaritmo natural (ln), que está relacionada com exponenciação. Para resolver essa inequação, precisamos entender onde o argumento do logaritmo, ou seja,
, é positivo e onde o logaritmo é maior ou igual a zero.
Passo 2
Primeiro, lembramos que o logaritmo natural
está definido apenas para
. Então, precisamos encontrar os valores de
para os quais:
Passo 3
Vamos resolver a inequação quadrática
. Para isso, encontramos as raízes da equação quadrática associada:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são
e
.
Passo 4
Agora, analisamos os intervalos determinados por essas raízes para saber onde a expressão
é positiva:
- Para
- Para
- Para
Testamos um valor em cada intervalo:
- Se
, então (negativo) - Se
, então (negativo) - Se
, então (positivo)
Portanto, a expressão é positiva quando
ou
.
Passo 5
Agora, voltamos à inequação original:
Sabemos que
quando
. Então, precisamos que:
Passo 6
Resolvemos a nova inequação:
Calculamos as raízes da equação
:
Passo 7
Analisamos os intervalos determinados pelas raízes
e
:
- Para
- Para
- Para
Testamos um valor em cada intervalo:
- Se
, então (positivo) - Se
, então (negativo) - Se
, então (positivo)
Portanto, a inequação
é satisfeita quando
ou
.
Passo 8
Agora, juntamos as duas condi�es que encontramos:
-
quando ou -
quando ou
Precisamos que ambas as condições sejam verdadeiras simultaneamente. Observamos que:
-
, que é menor que -
, que é maior que
Portanto, as intersecções são:
- Para
e : - Para
e :
Resposta
A solução da inequação é:
Exercícios relacionados
Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função
, onde a variável
é dada em anos e
e
são constantes.
Encontre as constantes e
de modo que a população inicial
seja igual a 1024 indivíduos e a população após 10 anos seja a metade da população inicial.
Encontre as constantes
Calcule
sabendo que
Classifique os números a seguir como racionais ou irracionais:
Realize as seguintes operações entre intervalos.