Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função
, onde a variável
é dada em anos e
e
são constantes.
Encontre as constantes
e
de modo que a população inicial
seja igual a 1024 indivíduos e a população após 10 anos seja a metade da população inicial.
Encontre as constantes
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função que descreve o número de indivíduos em uma população ao longo do tempo, dada por
. Aqui,
representa o tempo em anos, e
e
são constantes que precisamos encontrar. A gente sabe duas coisas:
- Quando
(ou seja, no início), a população é de 1024 indivíduos. - Após 10 anos (
), a população é a metade da inicial, ou seja, 512 indivíduos.
Vamos usar essas informações para descobrir os valores de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o valor de
. Para isso, substituímos
na função:
Sabemos que
, então:
Agora já temos o valor de
!
Passo 3
Agora, vamos encontrar o valor de
. Sabemos que após 10 anos, a população é a metade da inicial, ou seja, 512 indivíduos. Então, substituímos
na função:
Vamos resolver essa equação para
:
Dividindo ambos os lados por 1024:
Agora, sabemos que
, então:
Dividindo ambos os lados por -10:
Resposta
As constantes são
e
.