Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função f(t) = a * 2^(-b * t), onde a variável t é dada em anos e a e b são constantes.
Encontre as constantes a e b de modo que a população inicial t = 0 seja igual a 1024 indivíduos e a população após 10 anos seja a metade da população inicial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função que descreve o número de indivíduos em uma população ao longo do tempo, dada por . Aqui, representa o tempo em anos, e e são constantes que precisamos encontrar. A gente sabe duas coisas:
  1. Quando (ou seja, no início), a população é de 1024 indivíduos.
  2. Após 10 anos ( ), a população é a metade da inicial, ou seja, 512 indivíduos.
Vamos usar essas informações para descobrir os valores de e .

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o valor de . Para isso, substituímos na função:
Sabemos que , então:
Agora já temos o valor de !

Passo 3

Agora, vamos encontrar o valor de . Sabemos que após 10 anos, a população é a metade da inicial, ou seja, 512 indivíduos. Então, substituímos na função:
Vamos resolver essa equação para :
Dividindo ambos os lados por 1024:
Agora, sabemos que , então:
Dividindo ambos os lados por -10:

Resposta

As constantes são e .

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