Resolva as inequações:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação . Esse exercício está relacionado ao estudo das inequações polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar fatorar a expressão, encontrar os pontos críticos e analisar os intervalos para determinar onde a inequação é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o polinômio quadrático dentro da inequação. Temos:
Esse trinômio é um quadrado perfeito, pois pode ser escrito como:
Então, a inequação fica:

Passo 3

Agora, identificamos os valores de que fazem cada fator igual a zero, chamados de pontos críticos. Esses pontos dividem a reta numérica em intervalos que vamos analisar.
Então, nossos pontos críticos são e .

Passo 4

Com os pontos críticos, dividimos a reta numérica em três intervalos:
Vamos analisar o sinal da expressão em cada um desses intervalos.

Passo 5

Primeiro, consideramos que é sempre não negativo, já que qualquer número ao quadrado é positivo ou zero.
Então, o sinal da expressão depende principalmente de :
  • Intervalo :
    Escolhemos .
    Produto: positivo negativo = negativo.
  • Intervalo :
    Escolhemos .
    Produto: positivo negativo = negativo.
  • Intervalo :
    Escolhemos .
    Produto: positivo positivo = positivo.

Passo 6

Agora, analisamos onde a expressão é maior ou igual a zero:
  • Nos intervalos e , o produto é negativo.
  • No intervalo , o produto é positivo.
  • Nos pontos críticos e , a expressão é igual a zero.

Resposta

A solução da inequação é:

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Sejam e . Então, .