Resolva as inequações e descreva o conjunto solução de cada uma delas.
s) (x^2 - 1) / |x + 2| < 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação (x^2 - 1) / |x + 2| < 0. Aqui, estamos lidando com uma fração onde o numerador é uma expressão quadrática ( x^2 - 1) e o denominador é o valor absoluto de x + 2. Para resolver isso, precisamos entender onde essa fração é menor que zero, ou seja, onde ela é negativa. Vamos precisar identificar os pontos onde o numerador ou o denominador mudam de sinal e analisar os intervalos resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores de x que tornam o numerador igual a zero:

Resolvendo essa equação:

Então, os pontos e x = 1 fazem o numerador ser zero.

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador . O valor absoluto de qualquer número é sempre positivo, exceto quando o conteúdo é zero. Então, temos:

Portanto, é um ponto onde o denominador é zero, o que faz a fração não estar definida nesse ponto.

Passo 4

Com esses pontos críticos ( , , e x = 1), dividimos a linha dos números reais em quatro intervalos para analisar o sinal da fração em cada um deles:

Passo 5

Vamos analisar o sinal do numerador x^2 - 1 e do denominador em cada intervalo:
  1. Intervalo :
    • Numerador: x^2 - 1 é positivo (porque x^2 é sempre positivo e maior que 1 aqui).
    • Denominador: é positivo.
    • Fração: Positivo / Positivo = Positivo.
  2. Intervalo :
    • Numerador: x^2 - 1 é positivo (mesmo motivo).
    • Denominador: é positivo.
    • Fração: Positivo / Positivo = Positivo.
  3. Intervalo :
    • Numerador: x^2 - 1 é negativo (porque ).
    • Denominador: é positivo.
    • Fração: Negativo / Positivo = Negativo.
  4. Intervalo :
    • Numerador: x^2 - 1 é positivo.
    • Denominador: é positivo.
    • Fração: Positivo / Positivo = Positivo.

Passo 6

Estamos procurando onde a fração é menor que zero, ou seja, negativa. Observamos que isso acontece apenas no intervalo .

Resposta

O conjunto solução da inequação (x^2 - 1) / |x + 2| < 0 é:

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