Resolva as inequações no domínio dos números reais e expresse suas soluções em notação de intervalo. |3 - 1/x| < 1/2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação |3 - 1/x| < 1/2. Essa questão está relacionada a inequações envolvendo valor absoluto. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com expressões dentro de valores absolutos e como resolver desigualdades envolvendo frações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que o valor absoluto representa. A expressão , onde , significa que o valor de A está a uma distância menor que B de zero na reta numérica. Isso pode ser reescrito como uma dupla desigualdade:
No nosso caso, e . Então, a inequação fica:

Passo 3

Vamos resolver a dupla desigualdade separadamente. Primeiro, vamos resolver a parte esquerda:
Subtraindo 3 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembre-se que ao multiplicar por um número negativo a desigualdade inverte o sinal):
Isso pode ser reescrito como:

Passo 4

Agora, vamos resolver a parte direita da dupla desigualdade:
Subtraindo 3 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por -1 (invertendo a desigualdade):

Passo 5

Agora, juntando as duas partes que encontramos:
Para resolver para x, vamos inverter as frações. Lembrando que se , então se , e se , então se . Aplicando isso:

Resposta

A solução da inequação é o intervalo aberto .

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