Resolva as inequações e expresse as soluções como intervalo ou união de intervalos.
(x-1)/(2-x) < 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a inequação . Isso envolve trabalhar com inequações racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são expressões algébricas. Para resolver, vamos precisar entender como manipular frações e desigualdades, além de considerar os casos onde o denominador pode ser zero, pois essa situação não é permitida.

Passo 2

Primeiro, vamos trazer todos os termos para um lado da desigualdade para facilitar a resolução. Subtraímos 1 de ambos os lados:

Passo 3

Para subtrair 1, vamos escrever 1 com o mesmo denominador, que é . Assim, temos:

Passo 4

Agora, como os denominadores são iguais, podemos subtrair os numeradores:
Simplificando o numerador:
Então, a inequação fica:

Passo 5

Vamos notar que é o mesmo que . Então, podemos reescrever a inequação como:
Multiplicando o numerador e o denominador por -1, lembrando que isso inverte a desigualdade:

Passo 6

Agora, identificamos os pontos críticos onde o numerador ou o denominador são zero:
Estes pontos dividem a reta numérica em intervalos que vamos analisar.

Passo 7

Vamos considerar os intervalos determinados pelos pontos críticos: , , e x > 2. Em cada intervalo, vamos verificar o sinal da fração .
  1. Para :
    • Numerador:
    • Denominador:
    • Fração: Positivo / Negativo = Negativo
  2. Para :
    • Numerador:
    • Denominador:
    • Fração: Negativo / Negativo = Positivo
  3. Para x > 2:
    • Numerador:
    • Denominador:
    • Fração: Negativo / Positivo = Negativo

Passo 8

Estamos buscando onde a fração é maior que zero, ou seja, positiva. Pelo passo anterior, isso ocorre no intervalo .

Passo 9

Finalmente, lembrando que x = 2 torna o denominador zero, o que não é permitido. Portanto, a solução da inequação é:

Resposta

A solução da inequação é .

Exercícios relacionados

Resolva as inequações e expresse as soluções como intervalo ou união de intervalos.
1 - 3 x > 0
integral1 1(2 x+1)^3 d x
Dada f(x, y) = 3x + y, calcule :
f(x+Delta x, y) - f(x, y) / Delta x
Resolva as inequações. Ilustre as soluções na reta real e as expresse como intervalo ou união de intervalos.
|2x - 1| < 3