Resolva as inequações e expresse as soluções como intervalo ou união de intervalos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a inequação
. Isso envolve trabalhar com inequações racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são expressões algébricas. Para resolver, vamos precisar entender como manipular frações e desigualdades, além de considerar os casos onde o denominador pode ser zero, pois essa situação não é permitida.
Passo 2
Primeiro, vamos trazer todos os termos para um lado da desigualdade para facilitar a resolução. Subtraímos 1 de ambos os lados:
Passo 3
Para subtrair 1, vamos escrever 1 com o mesmo denominador, que é
. Assim, temos:
Passo 4
Agora, como os denominadores são iguais, podemos subtrair os numeradores:
Simplificando o numerador:
Então, a inequação fica:
Passo 5
Vamos notar que
é o mesmo que
. Então, podemos reescrever a inequação como:
Multiplicando o numerador e o denominador por -1, lembrando que isso inverte a desigualdade:
Passo 6
Agora, identificamos os pontos críticos onde o numerador ou o denominador são zero:
Estes pontos dividem a reta numérica em intervalos que vamos analisar.
Passo 7
Vamos considerar os intervalos determinados pelos pontos críticos:
,
, e
. Em cada intervalo, vamos verificar o sinal da fração
.
-
Para
: - Numerador:
- Denominador:
- Fração: Positivo / Negativo = Negativo
- Numerador:
-
Para
: - Numerador:
- Denominador:
- Fração: Negativo / Negativo = Positivo
- Numerador:
-
Para
: - Numerador:
- Denominador:
- Fração: Negativo / Positivo = Negativo
- Numerador:
Passo 8
Estamos buscando onde a fração é maior que zero, ou seja, positiva. Pelo passo anterior, isso ocorre no intervalo
.
Passo 9
Finalmente, lembrando que
torna o denominador zero, o que não é permitido. Portanto, a solução da inequação é:
Resposta
A solução da inequação é
.
Exercícios relacionados
Resolva as inequações e expresse as soluções como intervalo ou união de intervalos.
Dada
, calcule :
Resolva as inequações. Ilustre as soluções na reta real e as expresse como intervalo ou união de intervalos.