Resolva as inequações
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa inequação que envolve logaritmos com base
. A nossa missão é encontrar os valores de
que fazem com que a expressão seja verdadeira. Para isso, vamos precisar entender algumas propriedades dos logaritmos e como elas se comportam quando a base é menor que 1.
Passo 2
Primeiro, precisamos garantir que os argumentos dos logaritmos sejam positivos, porque logaritmos de números não positivos não estão definidos. Então, temos:
Considerando todas essas condições, o intervalo válido para
é:
Passo 3
Agora, vamos usar a propriedade dos logaritmos que diz que a soma de dois logaritmos de mesma base é igual ao logaritmo do produto dos argumentos:
Simplificando o produto dentro do logaritmo:
Portanto, a inequação fica:
Passo 4
Agora, precisamos lembrar que quando a base do logaritmo é menor que 1 (no caso,
), a função logarítmica é decrescente. Isso significa que a inequação
, com
, se transforma em
.
Aplicando isso à nossa inequação:
Vamos resolver essa inequação quadrática:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 5
Agora, vamos resolver a inequação quadrática
. Primeiro, encontrando as raízes da equação associada:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
A inequação
será verdadeira para valores de
entre as raízes:
Mas lembrando da condição do domínio que estabelecemos no Passo 2 (
), a solução válida é a interseção desses intervalos:
Resposta
A solução da inequação é
.