Resolva as inequações
(i) log(1/8)(x/2) + log(1/8)(2x-6) ≥ log(1/8)(3x-5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa inequação que envolve logaritmos com base . A nossa missão é encontrar os valores de que fazem com que a expressão seja verdadeira. Para isso, vamos precisar entender algumas propriedades dos logaritmos e como elas se comportam quando a base é menor que 1.

Passo 2

Primeiro, precisamos garantir que os argumentos dos logaritmos sejam positivos, porque logaritmos de números não positivos não estão definidos. Então, temos:
Considerando todas essas condições, o intervalo válido para é:

Passo 3

Agora, vamos usar a propriedade dos logaritmos que diz que a soma de dois logaritmos de mesma base é igual ao logaritmo do produto dos argumentos:
Simplificando o produto dentro do logaritmo:
Portanto, a inequação fica:

Passo 4

Agora, precisamos lembrar que quando a base do logaritmo é menor que 1 (no caso, ), a função logarítmica é decrescente. Isso significa que a inequação , com , se transforma em .
Aplicando isso à nossa inequação:
Vamos resolver essa inequação quadrática:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 5

Agora, vamos resolver a inequação quadrática . Primeiro, encontrando as raízes da equação associada:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
A inequação será verdadeira para valores de entre as raízes:
Mas lembrando da condição do domínio que estabelecemos no Passo 2 ( ), a solução válida é a interseção desses intervalos:

Resposta

A solução da inequação é .

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