Resolva as inequaçőes. $|x+1|<|2 x-1|
Passo 1
Beleza, vamos resolver a inequação
. Aqui, estamos lidando com valores absolutos, que basicamente medem a distância de um número até zero na reta numérica. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com inequações envolvendo valores absolutos e aplicar um pouco de álgebra.
Passo 2
Primeiro, para simplificar a inequação
, vamos elevar ambos os lados ao quadrado. Isso é válido porque os valores absolutos são sempre positivos, e ao elevarmos ao quadrado, mantemos a desigualdade:
Assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos expandir ambos os lados da inequação:
Substituindo de volta na inequação:
Passo 4
Vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo da inequação para facilitar:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 5
Para deixar a inequação mais simples, podemos multiplicar ambos os lados por -1. Lembrando que, ao multiplicar ou dividir uma inequação por um número negativo, o sinal da desigualdade inverte:
Passo 6
Agora, vamos fatorar a expressão quadrática:
Então, a inequação fica:
Passo 7
Para resolver
, encontramos os valores críticos onde a expressão é igual a zero:
Esses pontos dividem a reta numérica em três intervalos:
Passo 8
Vamos testar cada intervalo para ver onde a inequação
é verdadeira:
-
Para
: -
é negativo. -
também é negativo. - O produto de dois negativos é positivo. Então,
é verdadeiro.
-
-
Para
: -
é positivo. -
é negativo. - O produto de um positivo e um negativo é negativo. Então,
é falso.
-
-
Para
: -
é positivo. -
também é positivo. - O produto de dois positivos é positivo. Então,
é verdadeiro.
-
Resposta
A solução da inequação
é: