Resolva as inequaçőes. $|x+1|<|2 x-1|

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação . Aqui, estamos lidando com valores absolutos, que basicamente medem a distância de um número até zero na reta numérica. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com inequações envolvendo valores absolutos e aplicar um pouco de álgebra.

Passo 2

Primeiro, para simplificar a inequação , vamos elevar ambos os lados ao quadrado. Isso é válido porque os valores absolutos são sempre positivos, e ao elevarmos ao quadrado, mantemos a desigualdade:
Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos expandir ambos os lados da inequação:
Substituindo de volta na inequação:

Passo 4

Vamos trazer todos os termos para o lado esquerdo da inequação para facilitar:
Simplificando os termos semelhantes:

Passo 5

Para deixar a inequação mais simples, podemos multiplicar ambos os lados por -1. Lembrando que, ao multiplicar ou dividir uma inequação por um número negativo, o sinal da desigualdade inverte:

Passo 6

Agora, vamos fatorar a expressão quadrática:
Então, a inequação fica:

Passo 7

Para resolver , encontramos os valores críticos onde a expressão é igual a zero:
Esses pontos dividem a reta numérica em três intervalos:

Passo 8

Vamos testar cada intervalo para ver onde a inequação é verdadeira:
  1. Para :
    • é negativo.
    • também é negativo.
    • O produto de dois negativos é positivo. Então, é verdadeiro.
  2. Para :
    • é positivo.
    • é negativo.
    • O produto de um positivo e um negativo é negativo. Então, é falso.
  3. Para :
    • é positivo.
    • também é positivo.
    • O produto de dois positivos é positivo. Então, é verdadeiro.

Resposta

A solução da inequação é:

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