Resolva as inequações:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a inequação
. Esse tipo de problema faz parte do estudo de inequações racionais na matemática. Para resolver, a gente vai precisar entender onde a expressão é positiva, ou seja, maior que zero. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o numerador
. Isso é uma diferença de quadrados, que sempre pode ser fatorada da seguinte forma:
Então, agora nossa inequação fica:
Passo 3
O próximo passo é identificar os pontos críticos, que são os valores de
que fazem o numerador ou o denominador serem zero, porque nesses pontos a expressão pode mudar de sinal ou não estar definida. Vamos encontrar esses valores:
-
-
-
(mas aqui a expressão não está definida, já que não podemos dividir por zero)
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 4
Agora, vamos dividir a reta dos números reais em intervalos com base nesses pontos críticos:
Vamos analisar o sinal da expressão
em cada um desses intervalos.
Passo 5
Escolhemos um número de teste em cada intervalo para verificar o sinal:
-
Para
, por exemplo, : Sinal: Negativo -
Para
, por exemplo, : Sinal: Positivo -
Para
, por exemplo, : Sinal: Negativo -
Para
, por exemplo, : Sinal: Positivo
Passo 6
Queremos saber onde a expressão é maior que zero. Observando os sinais:
-
: positivo -
: positivo
Também precisamos considerar se os pontos
e
estão incluídos. Nesses pontos, o numerador é zero, então a expressão é igual a zero, não maior que zero. E
não está definido.
Passo 7
Portanto, a solução da inequação é:
Resposta
A solução da inequação
é
ou
.