Resolva as inequações: (x^2 - 9) / (x + 1) > 0

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a inequação . Esse tipo de problema faz parte do estudo de inequações racionais na matemática. Para resolver, a gente vai precisar entender onde a expressão é positiva, ou seja, maior que zero. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o numerador . Isso é uma diferença de quadrados, que sempre pode ser fatorada da seguinte forma:
Então, agora nossa inequação fica:

Passo 3

O próximo passo é identificar os pontos críticos, que são os valores de que fazem o numerador ou o denominador serem zero, porque nesses pontos a expressão pode mudar de sinal ou não estar definida. Vamos encontrar esses valores:
  • (mas aqui a expressão não está definida, já que não podemos dividir por zero)
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 4

Agora, vamos dividir a reta dos números reais em intervalos com base nesses pontos críticos:
Vamos analisar o sinal da expressão em cada um desses intervalos.

Passo 5

Escolhemos um número de teste em cada intervalo para verificar o sinal:
  1. Para , por exemplo, :
    Sinal: Negativo
  2. Para , por exemplo, :
    Sinal: Positivo
  3. Para , por exemplo, :
    Sinal: Negativo
  4. Para , por exemplo, :
    Sinal: Positivo

Passo 6

Queremos saber onde a expressão é maior que zero. Observando os sinais:
  • : positivo
  • : positivo
Também precisamos considerar se os pontos e estão incluídos. Nesses pontos, o numerador é zero, então a expressão é igual a zero, não maior que zero. E não está definido.

Passo 7

Portanto, a solução da inequação é:

Resposta

A solução da inequação é ou .

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