Sabendo que os pontos críticos da função
são
e
, então classifique esses pontos quanto a mínimo, máximo ou de sela.
Passo 1
Então, a gente tem uma função de duas variáveis,
. A questão nos dá quatro pontos críticos:
,
,
e
. Nosso objetivo é descobrir se cada um desses pontos é um mínimo, máximo ou ponto de sela. Para isso, vamos usar o teste da derivada segunda, que envolve calcular as derivadas parciais de segunda ordem e analisar o determinante da matriz Hessiana.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E em relação a
:
Agora, as derivadas parciais de segunda ordem:
Passo 3
Com as derivadas de segunda ordem, vamos montar a matriz Hessiana, que é dada por:
O determinante da Hessiana (
) é calculado por:
Passo 4
Vamos agora calcular o determinante da Hessiana para cada um dos pontos críticos.
Para
:
Como
e
, o ponto
é um ponto de mínimo local.
Fazendo os mesmos cálculos para os outros pontos
,
e
, notamos que os valores de
,
e
são os mesmos devido aos quadrados e até potências ímpares que anulam os sinais. Assim,
e os sinais das derivadas também são os mesmos.
Passo 5
Portanto, todos os quatro pontos críticos têm
e
, o que significa que todos eles são pontos de mínimo local.
Resposta
Os pontos críticos
,
,
e
são todos pontos de mínimo local da função
.