Sabendo que os pontos críticos da função f(x, y) = x^2 + y^2 + 1/(x^2 * y^2) são (-1,-1), (-1,1), (1,-1) e 1,1, então classifique esses pontos quanto a mínimo, máximo ou de sela.

Passo 1

Então, a gente tem uma função de duas variáveis, . A questão nos dá quatro pontos críticos: , , e . Nosso objetivo é descobrir se cada um desses pontos é um mínimo, máximo ou ponto de sela. Para isso, vamos usar o teste da derivada segunda, que envolve calcular as derivadas parciais de segunda ordem e analisar o determinante da matriz Hessiana.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função .
A derivada parcial de em relação a é:
E em relação a :
Agora, as derivadas parciais de segunda ordem:

Passo 3

Com as derivadas de segunda ordem, vamos montar a matriz Hessiana, que é dada por:
O determinante da Hessiana ( ) é calculado por:

Passo 4

Vamos agora calcular o determinante da Hessiana para cada um dos pontos críticos.
Para :
Como e , o ponto é um ponto de mínimo local.
Fazendo os mesmos cálculos para os outros pontos , e , notamos que os valores de , e são os mesmos devido aos quadrados e até potências ímpares que anulam os sinais. Assim, e os sinais das derivadas também são os mesmos.

Passo 5

Portanto, todos os quatro pontos críticos têm e , o que significa que todos eles são pontos de mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos , , e são todos pontos de mínimo local da função .

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