Sejam f(x) = 2x - 1 e g(x) = x^2 - 3. Determine o domínio e a expressão de g/f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções dadas: e . A missão aqui é descobrir o domínio dessas funções e também a expressão da razão delas, ou seja, . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre domínio de funções e como dividir funções.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio de cada função individualmente. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.

Passo 3

Começando com . Essa é uma função linear, e funções lineares têm domínio em todos os números reais. Então,
í

Passo 4

Agora, vamos para . Essa é uma função quadrática, e também está definida para todos os números reais, já que podemos elevar qualquer número real ao quadrado e subtrair 3 sem problemas. Assim,
í

Passo 5

Agora, vamos encontrar o domínio da expressão , que é a razão das duas funções. Para isso, precisamos que o denominador seja diferente de zero, porque não podemos dividir por zero. Então, vamos resolver:
Isso significa que não está no domínio de .

Passo 6

Portanto, o domínio de é todos os números reais exceto . Em notação de conjunto, fica assim:
í

Passo 7

Agora, vamos escrever a expressão de . Basta dividir por :

Resposta

O domínio de é todos os números reais menos . A expressão da razão das funções é:

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