Resolva as seguintes integrais usando o método de substituição de variáveis:
19)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. A gente vai usar o método de substituição de variáveis, que é uma técnica bacana de cálculo para simplificar integrais. Precisamos identificar uma parte da função que pode ser substituída por uma nova variável para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o denominador
. Parece que uma substituição simples pode ajudar. Vamos chamar
. Isso significa que estamos substituindo
por outra variável,
, para tornar a integral mais fácil de manejar.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
para obter
. Se
, então
. Isso é útil porque nos permite substituir
na integral original por
, simplificando ainda mais a expressão.
Passo 4
Vamos reescrever a integral em termos de
. Substituindo
por
e
por
, a integral fica:
Mas percebemos que ainda temos um
no numerador. Como
, podemos expressar
em termos de
:
Substituindo isso na integral:
Passo 5
Agora, vamos dividir a fração em duas partes para facilitar a integração:
A primeira parte,
, é uma forma direta para usar a substituição
, então
, o que simplifica para
.
A segunda parte,
, se assemelha à integral da função
, cuja antiderivada é
. Aqui,
, então a antiderivada é
.
Resposta
Somando as duas partes, temos:
Finalmente, substituindo
de volta, a solução completa é:
Exercícios relacionados
Para cada caso, determine o valor de
e encontre o domínio de
quando
.
Resolva as integrais abaixo.
62)
62)
Resolva as integrais abaixo.
31)
31)
Para cada caso, determine o valor de
e encontre o domínio de
quando
.