Resolva as seguintes integrais usando o método de substituição de variáveis:
19) integral (2 x+10)(x+2)^2+9 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A gente vai usar o método de substituição de variáveis, que é uma técnica bacana de cálculo para simplificar integrais. Precisamos identificar uma parte da função que pode ser substituída por uma nova variável para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o denominador . Parece que uma substituição simples pode ajudar. Vamos chamar . Isso significa que estamos substituindo por outra variável, , para tornar a integral mais fácil de manejar.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a para obter . Se , então . Isso é útil porque nos permite substituir na integral original por , simplificando ainda mais a expressão.

Passo 4

Vamos reescrever a integral em termos de integral 2(x) + 10u^2 + 9 , du . Substituindo x = u - 2 por integral 2(u - 2) + 10u^2 + 9 , du = integral 2u - 4 + 10u^2 + 9 , du = integral 2u + 6u^2 + 9 , du e por , a integral fica:
Mas percebemos que ainda temos um no numerador. Como , podemos expressar em termos de :
Substituindo isso na integral:

Passo 5

Agora, vamos dividir a fração em duas partes para facilitar a integração:
integral 2uu^2 + 9 , du + integral 6u^2 + 9 , du
A primeira parte, , é uma forma direta para usar a substituição , então , o que simplifica para .
A segunda parte, , se assemelha à integral da função , cuja antiderivada é . Aqui, , então a antiderivada é .

Resposta

Somando as duas partes, temos:
ln(u^2 + 9) + 2 arctan(u3) + C
Finalmente, substituindo ln((x + 2)^2 + 9) + 2 arctan(x + 23) + C de volta, a solução completa é:

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