Utilize o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas:
Resp.:
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver uma equação diferencial do tipo
usando o método dos coeficientes a determinar. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Lineares. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja,
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, montamos a equação característica:
Resolvendo para
:
Os valores imaginários indicam que a solução geral da parte homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Usamos o método dos coeficientes a determinar, assumindo que a solução particular tem a mesma forma que o termo não homogêneo, mas multiplicada por
para evitar soluç��es que já estão na solução homogênea.
Como o lado direito é
, tentamos:
onde
e
são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 5
Calculamos as derivadas de
:
Simplificando:
Passo 6
Substituímos
e
na equação original:
Observamos que os termos com
se cancelam:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para :
Para
Para
:
Passo 8
Com os valores de
e
, a solução particular fica:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Resolva as integrais abaixo.
35)
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Utilize o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas:
Resp.:
Utilize o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas:
Resp.:
Resolva as integrais abaixo.
41)
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