Utilize o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas: Resp.:

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver uma equação diferencial do tipo usando o método dos coeficientes a determinar. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Lineares. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, montamos a equação característica:
Resolvendo para :
Os valores imaginários indicam que a solução geral da parte homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Usamos o método dos coeficientes a determinar, assumindo que a solução particular tem a mesma forma que o termo não homogêneo, mas multiplicada por para evitar soluç��es que já estão na solução homogênea.
Como o lado direito é , tentamos:
onde e são coeficientes que precisamos determinar.

Passo 5

Calculamos as derivadas de :
Simplificando:

Passo 6

Substituímos e na equação original:
Observamos que os termos com se cancelam:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para :
Para :

Passo 8

Com os valores de e , a solução particular fica:

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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Resolva as integrais abaixo.
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Utilize o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas: Resp.:
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41)