Vamos resolver a integral . Esse problema pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente à técnica de frações parciais. Para resolver essa integral, vamos precisar decompor a fração em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, observamos que o denominador pode ser fatorado como uma diferença de quadrados. Sabemos que . Isso nos ajuda a decompor a fração em partes menores.
Passo 3
Agora, vamos usar a técnica de frações parciais para escrever como a soma de duas frações simples:
Aqui, e são constantes que precisamos determinar.
Passo 4
Para encontrar os valores de e , multiplicamos ambos os lados da equação por :
Expandindo e agrupando termos semelhantes:
Comparando os coeficientes dos termos de ambos os lados da equação, temos:
Resolvendo esse sistema, encontramos que e .
Passo 5
Substituindo os valores de e na decomposição das frações, temos:
Agora, podemos reescrever a integral original utilizando essa decomposição:
Passo 6
Vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que , onde é a constante de integração:
e
Juntando tudo, temos:
Podemos simplificar isso utilizando propriedades dos logaritmos: