Resolva as integrais abaixo.
40) integral d xx^2-1

Passo 1

Vamos resolver a integral integral dxx^2-1. Esse problema pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente à técnica de frações parciais. Para resolver essa integral, vamos precisar decompor a fração 1x^2-1 em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, observamos que o denominador x^2-1 pode ser fatorado como uma diferença de quadrados. Sabemos que x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1). Isso nos ajuda a decompor a fração em partes menores.

Passo 3

Agora, vamos usar a técnica de frações parciais para escrever 1x^2-1 como a soma de duas frações simples:
1x^2-1 = Ax - 1 + Bx + 1
Aqui, A e B são constantes que precisamos determinar.

Passo 4

Para encontrar os valores de A e B, multiplicamos ambos os lados da equação por (x - 1)(x + 1):
1 = A(x + 1) + B(x - 1)
Expandindo e agrupando termos semelhantes:
1 = (A + B)x + (A - B)
Comparando os coeficientes dos termos de ambos os lados da equação, temos:
A + B = 0 A - B = 1
Resolvendo esse sistema, encontramos que A = 12 e B = -12.

Passo 5

Substituindo os valores de A e B na decomposição das frações, temos:
1x^2-1 = 1/2x - 1 - 1/2x + 1
Agora, podemos reescrever a integral original utilizando essa decomposição:
integral dxx^2-1 = 12 integral dxx - 1 - 12 integral dxx + 1

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que integral dxx - a = ln|x - a| + C, onde C é a constante de integração:
12 integral dxx - 1 = 12 ln|x - 1|
e
- 12 integral dxx + 1 = -12 ln|x + 1|
Juntando tudo, temos:
integral dxx^2-1 = 12 ln|x - 1| - 12 ln|x + 1| + C
Podemos simplificar isso utilizando propriedades dos logaritmos:
12 ln|x - 1x + 1| + C

Resposta

integral dxx^2-1 = 12 ln|x - 1x + 1| + C

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