Resolva as integrais abaixo.
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Passo 1
Vamos resolver a integral
. Esse problema pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente à técnica de frações parciais. Para resolver essa integral, vamos precisar decompor a fração
em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, observamos que o denominador
pode ser fatorado como uma diferença de quadrados. Sabemos que
. Isso nos ajuda a decompor a fração em partes menores.
Passo 3
Agora, vamos usar a técnica de frações parciais para escrever
como a soma de duas frações simples:
Aqui,
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 4
Para encontrar os valores de
e
, multiplicamos ambos os lados da equação por
:
Expandindo e agrupando termos semelhantes:
Comparando os coeficientes dos termos de ambos os lados da equação, temos:
Resolvendo esse sistema, encontramos que
e
.
Passo 5
Substituindo os valores de
e
na decomposição das frações, temos:
Agora, podemos reescrever a integral original utilizando essa decomposição:
Passo 6
Vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que
, onde
é a constante de integração:
e
Juntando tudo, temos:
Podemos simplificar isso utilizando propriedades dos logaritmos: