Resolva as seguintes integrais usando o método de substituição de variáveis:
15)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando o método de substituição de variáveis. Esse método é super útil quando a integral tem uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra. A gente vai precisar identificar uma parte da função que pode ser substituída por uma nova variável
, simplificando a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual parte da função composta escolher para ser
. Olhando para a integral
, percebemos que o expoente de 3, que é
, é uma boa candidata para ser nossa
.
Então, definimos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, para fazer a substituição completa na integral.
Calculando a derivada:
Isso significa que:
Percebemos que na nossa integral temos
. Vamos comparar com
:
Então:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na integral original:
Passo 5
A integral de
em relação a
é bem conhecida. A integral de
é
, onde
é uma constante.
Então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Por fim, vamos substituir
de volta pela expressão original em termos de
:
Então:
Resposta
A integral
é igual a
.
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