Resolva as seguintes integrais usando o método de substituição de variáveis:
15) integral 3^x^2+4 x+3(x+2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método de substituição de variáveis. Esse método é super útil quando a integral tem uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra. A gente vai precisar identificar uma parte da função que pode ser substituída por uma nova variável , simplificando a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da função composta escolher para ser u = x^2 + 4x + 3 . Olhando para a integral , percebemos que o expoente de 3, que é , é uma boa candidata para ser nossa .
Então, definimos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 2x + 4 em relação a du = (2x + 4) , dx , ou seja, 2x + 4 = 2(x + 2) , para fazer a substituição completa na integral.
Calculando a derivada:
du = 2(x + 2) , dx Rightarrow (x + 2) , dx = du2
Isso significa que:
Percebemos que na nossa integral temos . Vamos comparar com :
Então:

Passo 4

Agora, vamos substituir integral 3^x^2+4x+3(x+2) , dx = integral 3^u cdot du2 = 12 integral 3^u , du e na integral original:

Passo 5

A integral de 12 integral 3^u , du = 12 cdot 3^uln 3 + C = 3^u2 ln 3 + C em relação a é bem conhecida. A integral de é , onde é uma constante.
Então:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, vamos substituir u = x^2 + 4x + 3 de volta pela expressão original em termos de 3^u2 ln 3 + C = 3^x^2+4x+32 ln 3 + C :
Então:

Resposta

A integral é igual a .

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Resolva as integrais abaixo.
40) integral d xx^2-1