Resolva as integrais abaixo.
45) integral 5 x-10x^2-3 x-4 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Nesse exercício, estamos lidando com uma função racional, ou seja, um quociente de polinômios. Para resolver isso, vamos utilizar a fração parcial, que nos ajuda a simplificar integrais de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1) . Fatorar significa escrever o polinômio como produto de dois binômios.

Passo 3

Agora, vamos expressar a fração 5x - 10(x - 4)(x + 1) = Ax - 4 + Bx + 1 como soma de frações parciais:
Onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum 5x - 10 = A(x + 1) + B(x - 4) para eliminar as frações:

Passo 5

Para encontrar os valores de 5(4) - 10 = A(4 + 1) + B(4 - 4) 20 - 10 = 5A + 0 10 = 5A A = 2 e 5(-1) - 10 = A(-1 + 1) + B(-1 - 4) -5 - 10 = 0 + (-5)B -15 = -5B B = 3 , escolhemos valores de que simplificam a equação:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 6

Com os valores de integral 5x - 10x^2 - 3x - 4 , dx = integral ( 2x - 4 + 3x + 1 ) , dx e encontrados, a integral original fica:

Passo 7

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 2x - 4 , dx = 2 ln|x - 4|
integral 3x + 1 , dx = 3 ln|x + 1|

Resposta

A solução da integral é:
2 ln|x - 4| + 3 ln|x + 1| + C
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados