Resolva as integrais abaixo.
50) integral x^4-3 x^2+1x^3-x^2-6 x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral x^4-3 x^2+1x^3-x^2-6 x , dx. Aqui, estamos lidando com uma função racional, ou seja, o quociente de dois polinômios. Para resolver esse tipo de integral, vamos precisar usar a divisão de polinômios e a decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, observamos que o grau do numerador ( 4, de x^4) é maior que o grau do denominador ( 3, de x^3). Nesse caso, precisamos fazer uma divisão polinomial para simplificar a fração.
Vamos dividir x^4-3 x^2+1 por x^3-x^2-6 x.

Divisão Polinomial:

  1. Dividendo: x^4 - 3x^2 + 1
  2. Divisor: x^3 - x^2 - 6x
Passo a passo:
  • Dividimos o termo de maior grau do dividendo ( x^4) pelo termo de maior grau do divisor ( x^3), obtendo x.
  • Multiplicamos o divisor por x: (x^3 - x^2 - 6x) cdot x = x^4 - x^3 - 6x^2.
  • Subtraímos esse resultado do dividendo:
    (x^4 - 3x^2 + 1) - (x^4 - x^3 - 6x^2) = x^3 + 3x^2 + 1
  • Repetimos o processo:
    Dividimos x^3 por x^3, obtendo 1.
    Multiplicamos o divisor por 1: x^3 - x^2 - 6x.
    Subtraímos:
    (x^3 + 3x^2 + 1) - (x^3 - x^2 - 6x) = 4x^2 + 6x + 1
Agora, a divisão resulta em:
x^4-3 x^2+1x^3-x^2-6 x = x + 1 + 4x^2 + 6x + 1x^3-x^2-6 x

Passo 3

Agora, precisamos simplificar a fração 4x^2 + 6x + 1x^3-x^2-6 x. Para isso, vamos fatorar o denominador.
Primeiro, fatoramos o denominador:
x^3 - x^2 - 6x = x(x^2 - x - 6)
Agora, fatoramos x^2 - x - 6:
Procuramos dois números que multiplicados dão -6 e somados dão -1. Esses números são -3 e 2.
Então:
x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)
Portanto, o denominador fatorado fica:
x(x - 3)(x + 2)

Passo 4

Com o denominador fatorado, podemos escrever a fração como uma soma de frações parciais:
4x^2 + 6x + 1x(x - 3)(x + 2) = Ax + Bx - 3 + Cx + 2
Nosso objetivo é encontrar os valores de A, B e C.
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum x(x - 3)(x + 2):
4x^2 + 6x + 1 = A(x - 3)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(x - 3)
Agora, substituímos valores estratégicos de x para resolver para A, B e C.
  1. Para x = 0:
    4(0)^2 + 6(0) + 1 = A(0 - 3)(0 + 2) + B(0)(0 + 2) + C(0)(0 - 3)
    1 = A(-3)(2) Rightarrow 1 = -6A Rightarrow A = -16
  2. Para x = 3:
    4(3)^2 + 6(3) + 1 = A(3 - 3)(3 + 2) + B(3)(3 + 2) + C(3)(3 - 3)
    36 + 18 + 1 = B(3)(5) Rightarrow 55 = 15B Rightarrow B = 5515 = 113
  3. Para x = -2:
    4(-2)^2 + 6(-2) + 1 = A(-2 - 3)(-2 + 2) + B(-2)(-2 + 2) + C(-2)(-2 - 3)
    16 - 12 + 1 = C(-2)(-5) Rightarrow 5 = 10C Rightarrow C = 12
Portanto, temos:
4x^2 + 6x + 1x(x - 3)(x + 2) = -16 cdot 1x + 113 cdot 1x - 3 + 12 cdot 1x + 2

Passo 5

Agora, voltamos à expressão original da integral, substituindo a fração:
integral ( x + 1 + ( -16 cdot 1x + 113 cdot 1x - 3 + 12 cdot 1x + 2 ) ) dx
Vamos separar a integral em partes:
integral x , dx + integral 1 , dx - 16 integral 1x , dx + 113 integral 1x - 3 , dx + 12 integral 1x + 2 , dx
Agora, resolvemos cada integral separadamente.
  1. Integral de x:
    integral x , dx = x^22 + C1
  2. Integral de 1:
    integral 1 , dx = x + C2
  3. Integral de 1x:
    integral 1x , dx = ln|x| + C3
  4. Integral de 1x - 3:
    integral 1x - 3 , dx = ln|x - 3| + C4
  5. Integral de 1x + 2:
    integral 1x + 2 , dx = ln|x + 2| + C5
Agora, substituímos de volta:
x^22 + x - 16 ln|x| + 113 ln|x - 3| + 12 ln|x + 2| + C

Resposta

A integral resolve-se para:
x^22 + x - 16 ln|x| + 113 ln|x - 3| + 12 ln|x + 2| + C

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