Resolva as integrais abaixo.
50)

Passo 1

Vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma função racional, ou seja, o quociente de dois polinômios. Para resolver esse tipo de integral, vamos precisar usar a divisão de polinômios e a decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, observamos que o grau do numerador ( , de ) é maior que o grau do denominador ( , de ). Nesse caso, precisamos fazer uma divisão polinomial para simplificar a fração.
Vamos dividir por .

Divisão Polinomial:

  1. Dividendo:
  2. Divisor:
Passo a passo:
  • Dividimos o termo de maior grau do dividendo ( ) pelo termo de maior grau do divisor ( ), obtendo .
  • Multiplicamos o divisor por : .
  • Subtraímos esse resultado do dividendo:
  • Repetimos o processo:
    Dividimos por , obtendo .
    Multiplicamos o divisor por : .
    Subtraímos:
Agora, a divisão resulta em:

Passo 3

Agora, precisamos simplificar a fração . Para isso, vamos fatorar o denominador.
Primeiro, fatoramos o denominador:
Agora, fatoramos :
Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e .
Então:
Portanto, o denominador fatorado fica:

Passo 4

Com o denominador fatorado, podemos escrever a fração como uma soma de frações parciais:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, substituímos valores estratégicos de para resolver para , e .
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
Portanto, temos:

Passo 5

Agora, voltamos à expressão original da integral, substituindo a fração:
Vamos separar a integral em partes:
Agora, resolvemos cada integral separadamente.
  1. Integral de :
  2. Integral de :
  3. Integral de :
  4. Integral de :
  5. Integral de :
Agora, substituímos de volta:

Resposta

A integral resolve-se para:

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