Resolva as integrais abaixo.
50)
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Passo 1
Vamos resolver a integral
. Aqui, estamos lidando com uma função racional, ou seja, o quociente de dois polinômios. Para resolver esse tipo de integral, vamos precisar usar a divisão de polinômios e a decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, observamos que o grau do numerador (
, de
) é maior que o grau do denominador (
, de
). Nesse caso, precisamos fazer uma divisão polinomial para simplificar a fração.
Vamos dividir
por
.
Divisão Polinomial:
- Dividendo:
- Divisor:
Passo a passo:
-
Dividimos o termo de maior grau do dividendo (
) pelo termo de maior grau do divisor ( ), obtendo . -
Multiplicamos o divisor por
: . -
Subtraímos esse resultado do dividendo:
-
Repetimos o processo:Dividimos
por , obtendo . Multiplicamos o divisor por: . Subtraímos:
Agora, a divisão resulta em:
Passo 3
Agora, precisamos simplificar a fração
. Para isso, vamos fatorar o denominador.
Primeiro, fatoramos o denominador:
Agora, fatoramos
:
Procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
.
Então:
Portanto, o denominador fatorado fica:
Passo 4
Com o denominador fatorado, podemos escrever a fração como uma soma de frações parciais:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
e
.
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Agora, substituímos valores estratégicos de
para resolver para
,
e
.
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Portanto, temos:
Passo 5
Agora, voltamos à expressão original da integral, substituindo a fração:
Vamos separar a integral em partes:
Agora, resolvemos cada integral separadamente.
-
Integral de
: -
Integral de
: -
Integral de
: -
Integral de
: -
Integral de
:
Agora, substituímos de volta:
Resposta
A integral resolve-se para:
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