Resolva as integrais abaixo.
55) integral1^2 4 x^2-7 x-12x(x+2)(x-3) d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que resolver a integral definida:
integral1^2 4 x^2 - 7 x - 12x(x + 2)(x - 3) , dx
Conteúdo da matéria: Essa integral envolve técnicas de frações parciais, que são usadas para simplificar frações racionais antes de integrar. Para resolver, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples.

Passo 2

O próximo passo é decompor a fração usando frações parciais. Queremos expressar a fração original como uma soma de frações mais simples. Assumimos que:
4x^2 - 7x - 12x(x + 2)(x - 3) = Ax + Bx + 2 + Cx - 3
Onde , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar os valores de 4x^2 - 7x - 12 = A(x + 2)(x - 3) + Bx(x - 3) + Cx(x + 2) , e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, vamos expandir e simplificar a expressão para resolver as constantes.

Passo 4

Vamos encontrar cada constante substituindo valores estratégicos de 4(0)^2 - 7(0) - 12 = A(0 + 2)(0 - 3) -12 = A(2)(-3) -12 = -6A A = 2 que simplificam a equação:
  1. Para 4(-2)^2 - 7(-2) - 12 = B(-2)(-2 - 3) 16 + 14 - 12 = B(-2)(-5) 18 = 10B B = 1810 = 95 : Escolhemos 4(3)^2 - 7(3) - 12 = C(3)(3 + 2) 36 - 21 - 12 = C(3)(5) 3 = 15C C = 315 = 15 :
  2. Para : Escolhemos :
  3. Para : Escolhemos :

Passo 5

Agora que encontramos integral1^2 ( 2x + 95x + 2 + 15x - 3 ) dx , integral1^2 ( 2x + 95(x + 2) + 15(x - 3) ) dx e , podemos reescrever a integral original usando frações parciais:
Simplificando um pouco, temos:

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integral de integral 2x , dx = 2 ln|x| :
    integral 95(x + 2) , dx = 95 ln|x + 2|
  2. Integral de integral 15(x - 3) , dx = 15 ln|x - 3| :
    2 ln|x| + 95 ln|x + 2| + 15 ln|x - 3| + C
  3. Integral de :
Portanto, a integral completa fica:
Onde é a constante de integração. Porém, como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos da constante.

Passo 7

Agora, vamos avaliar a integral entre os limites de 1 e 2:
[ 2 ln|x| + 95 ln|x + 2| + 15 ln|x - 3| ]1^2
Substituindo os limites:
  1. Quando 2 ln(2) + 95 ln(4) + 15 ln(-1) :
    2 ln(2) + 95 ln(4) + 15 ln| -1 | = 2 ln(2) + 95 ln(4) + 15 ln(1)
    Observação: 2 ln(2) + 95 ln(4) não está definido nos números reais, mas considerando que estamos integrando em um intervalo onde 2 ln(1) + 95 ln(3) + 15 ln(-2) é negativo (pois 2 ln(1) + 95 ln(3) + 15 ln(2) = 0 + 95 ln(3) + 15 ln(2) ), podemos tratar o logaritmo de um número negativo usando valores absolutos:
    E sabemos que , então:
  2. Quando :
    Novamente, usando valores absolutos:

Passo 8

Finalmente, subtraímos os valores obtidos nos limites superior e inferior:
( 2 ln(2) + 95 ln(4) ) - ( 95 ln(3) + 15 ln(2) )
Simplificando:
2 ln(2) - 15 ln(2) + 95 ln(4) - 95 ln(3)
( 105 - 15 ) ln(2) + 95 (ln(4) - ln(3))
95 ln(2) + 95 ln( 43 )
95 ( ln(2) + ln( 43 ) ) = 95 ln( 2 times 43 ) = 95 ln( 83 )

Resposta

A integral definida é igual a:
95 ln( 83 )

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