Resolva as integrais abaixo.
55)
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que resolver a integral definida:
Conteúdo da matéria: Essa integral envolve técnicas de frações parciais, que são usadas para simplificar frações racionais antes de integrar. Para resolver, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples.
Passo 2
O próximo passo é decompor a fração usando frações parciais. Queremos expressar a fração original como uma soma de frações mais simples. Assumimos que:
Onde
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar os valores de
,
e
, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Agora, vamos expandir e simplificar a expressão para resolver as constantes.
Passo 4
Vamos encontrar cada constante substituindo valores estratégicos de
que simplificam a equação:
-
Para
: Escolhemos : -
Para
: Escolhemos : -
Para
: Escolhemos :
Passo 5
Agora que encontramos
,
e
, podemos reescrever a integral original usando frações parciais:
Simplificando um pouco, temos:
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
-
Integral de
: -
Integral de
: -
Integral de
:
Portanto, a integral completa fica:
Onde
é a constante de integração. Porém, como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos da constante.
Passo 7
Agora, vamos avaliar a integral entre os limites de 1 e 2:
Substituindo os limites:
-
Quando
: Observação:não está definido nos números reais, mas considerando que estamos integrando em um intervalo onde é negativo (pois ), podemos tratar o logaritmo de um número negativo usando valores absolutos: E sabemos que, então: -
Quando
: Novamente, usando valores absolutos:
Passo 8
Finalmente, subtraímos os valores obtidos nos limites superior e inferior:
Simplificando:
Resposta
A integral definida é igual a:
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