Resolva as integrais abaixo.
55)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que resolver a integral definida:
Conteúdo da matéria: Essa integral envolve técnicas de frações parciais, que são usadas para simplificar frações racionais antes de integrar. Para resolver, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples.

Passo 2

O próximo passo é decompor a fração usando frações parciais. Queremos expressar a fração original como uma soma de frações mais simples. Assumimos que:
Onde , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar os valores de , e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, vamos expandir e simplificar a expressão para resolver as constantes.

Passo 4

Vamos encontrar cada constante substituindo valores estratégicos de que simplificam a equação:
  1. Para : Escolhemos :
  2. Para : Escolhemos :
  3. Para : Escolhemos :

Passo 5

Agora que encontramos , e , podemos reescrever a integral original usando frações parciais:
Simplificando um pouco, temos:

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integral de :
  2. Integral de :
  3. Integral de :
Portanto, a integral completa fica:
Onde é a constante de integração. Porém, como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos da constante.

Passo 7

Agora, vamos avaliar a integral entre os limites de 1 e 2:
Substituindo os limites:
  1. Quando :
    Observação: não está definido nos números reais, mas considerando que estamos integrando em um intervalo onde é negativo (pois ), podemos tratar o logaritmo de um número negativo usando valores absolutos:
    E sabemos que , então:
  2. Quando :
    Novamente, usando valores absolutos:

Passo 8

Finalmente, subtraímos os valores obtidos nos limites superior e inferior:
Simplificando:

Resposta

A integral definida é igual a:

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