Resolva as integrais abaixo.
60) integral 4 x^2-3 x+24 x^2-4 x+3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
integral 4x^2 - 3x + 24x^2 - 4x + 3 , dx
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com integrais racionais, que são integrais onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver esse tipo de integral, precisamos manipular a função para facilitar a integração, geralmente dividindo os polinômios ou completando o quadrado no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no grau do numerador e do denominador. Ambos são polinômios de segundo grau (o termo com ).
Quando o grau do numerador é igual ao do denominador, a gente pode fazer uma divisão polinomial para simplificar a fração. Isso vai nos ajudar a separar a integral em partes mais fáceis de resolver.

Passo 3

Vamos dividir o numerador pelo denominador:
4x^2 - 3x + 24x^2 - 4x + 3
Como o grau dos polinômios é igual, começamos dividindo os termos de maior grau:
4x^24x^2 = 1
Multiplicamos 1 pelo denominador:
1 times (4x^2 - 4x + 3) = 4x^2 - 4x + 3
Agora, subtraímos esse resultado do numerador original:
(4x^2 - 3x + 2) - (4x^2 - 4x + 3) = x - 1
Então, a fração original pode ser reescrita como:
1 + x - 14x^2 - 4x + 3

Passo 4

Agora, nossa integral fica dividida em duas partes:
integral 1 , dx + integral x - 14x^2 - 4x + 3 , dx
A primeira parte é simples de integrar:
integral 1 , dx = x + C
Vamos focar na segunda integral:
integral x - 14x^2 - 4x + 3 , dx

Passo 5

Para resolver essa segunda integral, vamos completar o quadrado no denominador. Isso facilita a integração de frações racionais.
Começamos com o denominador:
4x^2 - 4x + 3
Fatoramos o 4 do 4(x^2 - x) + 3 :
x^2 - x = (x - 12)^2 - 14
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses:
4((x - 12)^2 - 14) + 3 = 4(x - 12)^2 + 2
Substituindo de volta:
4(x - 12)^2 + 2
Então, o denominador fica:

Passo 6

Agora, vamos reescrever a integral com o denominador completado:
integral x - 14(x - 12)^2 + 2 , dx
Queremos ajustar o numerador para que ele se pareça com a derivada do denominador. Calculamos a derivada do denominador:
ddx(4(x - 12)^2 + 2) = 8(x - 12)
Nosso numerador é x - 1 = (x - 12) - 12 , então vamos expressá-lo como uma combinação de integral (x - 12) - 124(x - 12)^2 + 2 , dx = integral x - 124(x - 12)^2 + 2 , dx - 12 integral 14(x - 12)^2 + 2 , dx e uma constante:
Agora, a integral fica:

Passo 7

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira Integral:
integral x - 124(x - 12)^2 + 2 , dx
Aqui, observamos que o numerador é semelhante à derivada do denominador. Isso nos permite usar uma substituição simples.
Vamos definir:
u = 4(x - 12)^2 + 2
dudx = 8(x - 12) Rightarrow (x - 12) dx = du8
Substituindo na integral:
integral 1u cdot du8 = 18 ln|u| + C = 18 ln|4(x - 12)^2 + 2| + C
Segunda Integral:
12 integral 14(x - 12)^2 + 2 , dx
Para essa parte, usamos uma substituição para se adequar à forma da integral de uma função arco-tangente.
Definimos:
u = x - 12 Rightarrow du = dx
A integral vira:
12 integral 14u^2 + 2 , du = 12 cdot 12raiz2 tan^-1(2uraiz2) + C = 12raiz2 tan^-1(raiz2 (x - 12)) + C

Passo 8

Agora, juntando tudo, a integral original fica:
x + 18 ln|4(x - 12)^2 + 2| - 12raiz2 tan^-1(raiz2 (x - 12)) + C

Resposta

A solução da integral é:
x + 18 ln(4(x - 12)^2 + 2) - 12raiz2 tan^-1(raiz2 (x - 12)) + C

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