Resolva as integrais abaixo.
60)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com integrais racionais, que são integrais onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver esse tipo de integral, precisamos manipular a função para facilitar a integração, geralmente dividindo os polinômios ou completando o quadrado no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no grau do numerador e do denominador. Ambos são polinômios de segundo grau (o termo com ).
Quando o grau do numerador é igual ao do denominador, a gente pode fazer uma divisão polinomial para simplificar a fração. Isso vai nos ajudar a separar a integral em partes mais fáceis de resolver.

Passo 3

Vamos dividir o numerador pelo denominador:
Como o grau dos polinômios é igual, começamos dividindo os termos de maior grau:
Multiplicamos 1 pelo denominador:
Agora, subtraímos esse resultado do numerador original:
Então, a fração original pode ser reescrita como:

Passo 4

Agora, nossa integral fica dividida em duas partes:
A primeira parte é simples de integrar:
Vamos focar na segunda integral:

Passo 5

Para resolver essa segunda integral, vamos completar o quadrado no denominador. Isso facilita a integração de frações racionais.
Começamos com o denominador:
Fatoramos o 4 do :
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses:
Substituindo de volta:
Então, o denominador fica:

Passo 6

Agora, vamos reescrever a integral com o denominador completado:
Queremos ajustar o numerador para que ele se pareça com a derivada do denominador. Calculamos a derivada do denominador:
Nosso numerador é , então vamos expressá-lo como uma combinação de e uma constante:
Agora, a integral fica:

Passo 7

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira Integral:
Aqui, observamos que o numerador é semelhante à derivada do denominador. Isso nos permite usar uma substituição simples.
Vamos definir:
Substituindo na integral:
Segunda Integral:
Para essa parte, usamos uma substituição para se adequar à forma da integral de uma função arco-tangente.
Definimos:
A integral vira:

Passo 8

Agora, juntando tudo, a integral original fica:

Resposta

A solução da integral é:

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Para cada caso, determine o valor de e encontre o domínio de quando .