Resolva as integrais abaixo.
62) integral 2 x^2-x+4x^3+4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro do tópico de integração, mais especificamente usando frações parciais. Para resolver isso, a gente vai precisar dividir a fração de maneira que fique mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador x^3 + 4x = x(x^2 + 4) . Dá pra fatorar isso assim:
integral 2x^2 - x + 4x(x^2 + 4) , dx
Então, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, vamos usar o método das frações parciais. A ideia é escrever a fração 2x^2 - x + 4x(x^2 + 4) = Ax + Bx + Cx^2 + 4 como soma de outras frações mais simples:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por 2x^2 - x + 4 = A(x^2 + 4) + x(Bx + C) para eliminar os denominadores:
2x^2 - x + 4 = A x^2 + 4A + Bx^2 + Cx
Expande e organiza os termos:

Passo 5

Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes:
A + B = 2 C = -1 4A = 4
Resolvendo essas equações, encontramos:
A = 1, B = 1, C = -1

Passo 6

Então, nossa fração original se decompõe em:
2x^2 - x + 4x(x^2 + 4) = 1x + x - 1x^2 + 4
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 7

Integrando cada parte:
integral 1x , dx = ln|x|
integral xx^2 + 4 , dx = 12 ln(x^2 + 4)
integral -1x^2 + 4 , dx = -12 arctan(x2)

Resposta

A integral vale:
ln|x| + 12 ln(x^2 + 4) - 12 arctan(x2) + C
onde é a constante de integração.

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