Resolva as integrais abaixo. Cheque o resultado das integrais indefinidas derivando sua resposta e comparando com o integrando.
(g) (Dica: Use a substituição para essa integral imprópria, Resposta: 1 )
Passo 1
Vamos resolver a integral imprópria . Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais, especificamente integrais impróprias, que envolvem limites infinitos. Para resolver essa integral, vamos usar a substituição .
Passo 2
Primeiro, fazemos a substituição sugerida: . Para isso, precisamos encontrar em termos de .
Sabemos que:
Passo 3
Agora, vamos expressar em termos de :
Substituindo e na integral original:
Mas sabemos que porque . Então, substituindo :
Passo 4
Para resolver , usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos partes de e :
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Passo 5
Voltando à variável original , lembrando que :
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a :
Primeiro, avaliamos o limite quando :
Porque o crescimento de no denominador é mais rápido que o crescimento de no numerador.