Resolva as integrais abaixo. Cheque o resultado das integrais indefinidas derivando sua resposta e comparando com o integrando.
(g) integral1^infty ln (x)x^2 d x (Dica: Use a substituição u=ln (x) para essa integral imprópria, Resposta: 1 )

Passo 1

Vamos resolver a integral imprópria . Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais, especificamente integrais impróprias, que envolvem limites infinitos. Para resolver essa integral, vamos usar a substituição .

Passo 2

Primeiro, fazemos a substituição sugerida: dudx = 1x Rightarrow du = 1x , dx . Para isso, precisamos encontrar em termos de .
Sabemos que:

Passo 3

Agora, vamos expressar dx = x , du em termos de integral ln(x)x^2 , dx = integral ux^2 cdot x , du = integral ux , du :
integral ue^u , du = integral u e^-u , du
Substituindo e na integral original:
Mas sabemos que porque . Então, substituindo :

Passo 4

Para resolver v = u &Rightarrow dv = du dw = e^-u , du &Rightarrow w = -e^-u , usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos partes de integral u e^-u , du = -u e^-u + integral e^-u , du = -u e^-u - e^-u + C e = -e^-u(u + 1) + C :
Aplicando a fórmula de integração por partes :

Passo 5

Voltando à variável original - e^-ln(x) (ln(x) + 1) + C = - 1x (ln(x) + 1) + C , lembrando que :

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a [ - ln(x) + 1x ]1^infty :
limx to infty - ln(x) + 1x = 0
Primeiro, avaliamos o limite quando - ln(1) + 11 = - (0 + 1) = -1 :
Porque o crescimento de no denominador é mais rápido que o crescimento de no numerador.
Em seguida, avaliamos em :

Passo 7

Calculando a diferença:
0 - (-1) = 1

Resposta

O valor da integral é .

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