Resolva as integrais abaixo. Cheque o resultado das integrais indefinidas derivando sua resposta e comparando com o integrando.
(g)
(Dica: Use a substituição
para essa integral imprópria, Resposta: 1 )
(g)
Passo 1
Vamos resolver a integral imprópria
. Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais, especificamente integrais impróprias, que envolvem limites infinitos. Para resolver essa integral, vamos usar a substituição
.
Passo 2
Primeiro, fazemos a substituição sugerida:
. Para isso, precisamos encontrar
em termos de
.
Sabemos que:
Passo 3
Agora, vamos expressar
em termos de
:
Substituindo
e
na integral original:
Mas sabemos que
porque
. Então, substituindo
:
Passo 4
Para resolver
, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos partes de
e
:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Passo 5
Voltando à variável original
, lembrando que
:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a
:
Primeiro, avaliamos o limite quando
:
Porque o crescimento de
no denominador é mais rápido que o crescimento de
no numerador.
Em seguida, avaliamos em
:
Passo 7
Calculando a diferença:
Resposta
O valor da integral é
.