Resolva as integrais abaixo.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral . Aqui estamos trabalhando com funções trigonométricas, especificamente cotangente ao quadrado e cossecante ao quadrado. Para isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição em integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma identidade trigonométrica conhecida: . Substituindo isso na integral, temos:

Passo 3

Agora, vamos expandir os termos dentro da integral:
Isso divide a integral em duas partes mais simples que podemos resolver separadamente.

Passo 4

Vamos começar resolvendo a primeira parte: . Para isso, podemos usar uma substituição. Vamos definir , então a derivada de em relação a é . Isso nos ajuda a simplificar a integral.

Passo 5

Com a substituição , reescrevemos , ou seja, . Substituindo na integral:

Passo 6

Integrando, temos:

Passo 7

Agora, vamos resolver a segunda parte da integral: . Sabemos que:
Aplicando isso, temos:

Passo 8

Finalmente, juntando as duas partes que resolvemos, a integral completa fica:

Resposta

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