Resolva as integrais abaixo. integral cotg^2(1-2 theta) cossec^2(1-2 theta) d theta

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral integral cotg^2(1-2 theta) cossec^2(1-2 theta) d theta. Aqui estamos trabalhando com funções trigonométricas, especificamente cotangente ao quadrado e cossecante ao quadrado. Para isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição em integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma identidade trigonométrica conhecida: . Substituindo isso na integral, temos:

Passo 3

Agora, vamos expandir os termos dentro da integral:
Isso divide a integral em duas partes mais simples que podemos resolver separadamente.

Passo 4

Vamos começar resolvendo a primeira parte: . Para isso, podemos usar uma substituição. Vamos definir integral cosec^4(1-2theta) dtheta, então a derivada de u = cot(1-2theta) em relação a u é . Isso nos ajuda a simplificar a integral.

Passo 5

Com a substituição u = cot(1-2theta), reescrevemos , ou seja, . Substituindo na integral:

Passo 6

Integrando, temos:
-12 cdot u^33 + C = -u^36 + C = -cot^3(1-2theta)6 + C

Passo 7

Agora, vamos resolver a segunda parte da integral: . Sabemos que:
Aplicando isso, temos:

Passo 8

Finalmente, juntando as duas partes que resolvemos, a integral completa fica:
-cot^3(1-2theta)6 - cot(1-2theta)2 + C

Resposta

integral cotg^2(1-2 theta) cossec^2(1-2 theta) d theta = -cot^3(1-2theta)6 - cot(1-2theta)2 + C

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