Resolva as integrais abaixo.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a integral
. Aqui estamos trabalhando com funções trigonométricas, especificamente cotangente ao quadrado e cossecante ao quadrado. Para isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição em integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma identidade trigonométrica conhecida: . Substituindo isso na integral, temos:
Passo 3
Agora, vamos expandir os termos dentro da integral:
Isso divide a integral em duas partes mais simples que podemos resolver separadamente.
Passo 4
Vamos começar resolvendo a primeira parte: . Para isso, podemos usar uma substituição. Vamos definir
, então a derivada de
em relação a
é . Isso nos ajuda a simplificar a integral.
Passo 5
Com a substituição
, reescrevemos , ou seja, . Substituindo na integral:
Passo 6
Integrando, temos:
Passo 7
Agora, vamos resolver a segunda parte da integral: . Sabemos que:
Aplicando isso, temos:
Passo 8
Finalmente, juntando as duas partes que resolvemos, a integral completa fica:
Resposta
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