Resolva as integrais abaixo.

Passo 1

Fala aí! Então, a gente precisa resolver a integral . Essa é uma questão de cálculo, mais especificamente de integração. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar integrais mais complicadas transformando-as em algo mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar de . Então:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir na integral. Derivando ambos os lados em relação a :
Isso significa que:

Passo 4

Agora, vamos substituir e na integral original:

Passo 5

A próxima etapa é resolver a integral . Para isso, podemos usar frações parciais, que é uma técnica para dividir uma fração complicada em frações mais simples. Queremos encontrar números e tais que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 6

Agora, vamos resolver para e . Primeiro, vamos expandir a equação:
Agrupando os termos com :
Para que essa igualdade seja válida para todo valor de , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então:
Substituindo na segunda equação:

Passo 7

Agora que temos e , podemos escrever a fração parcial:
Então, a integral se torna:

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
As integrais de e são logaritmos naturais:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Agora, vamos voltar para a variável original . Lembrando que , substituímos de volta:
Simplificando para :

Resposta

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