Resolva as integrais abaixo.
Passo 1
Fala aí! Então, a gente precisa resolver a integral
. Essa é uma questão de cálculo, mais especificamente de integração. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar integrais mais complicadas transformando-as em algo mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar
de
. Então:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
na integral. Derivando ambos os lados em relação a
:
Isso significa que:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na integral original:
Passo 5
A próxima etapa é resolver a integral
. Para isso, podemos usar frações parciais, que é uma técnica para dividir uma fração complicada em frações mais simples. Queremos encontrar números
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
e
. Primeiro, vamos expandir a equação:
Agrupando os termos com
:
Para que essa igualdade seja válida para todo valor de
, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então:
Substituindo
na segunda equação:
Passo 7
Agora que temos
e
, podemos escrever a fração parcial:
Então, a integral se torna:
Passo 8
Vamos integrar termo a termo:
As integrais de
e
são logaritmos naturais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Agora, vamos voltar para a variável original
. Lembrando que
, substituímos de volta:
Simplificando
para
:
Resposta
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