Resolva as integrais abaixo. integral d x1+e^3 x

Passo 1

Fala aí! Então, a gente precisa resolver a integral integral dx1 + e^3x. Essa é uma questão de cálculo, mais especificamente de integração. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar integrais mais complicadas transformando-as em algo mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar u de e^3x. Então:
u = e^3x

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx na integral. Derivando ambos os lados em relação a x:
dudx = 3e^3x
Isso significa que:
dx = du3e^3x = du3u

Passo 4

Agora, vamos substituir u e dx na integral original:
integral dx1 + e^3x = integral du3u1 + u = 13 integral duu(1 + u)

Passo 5

A próxima etapa é resolver a integral integral duu(1 + u). Para isso, podemos usar frações parciais, que é uma técnica para dividir uma fração complicada em frações mais simples. Queremos encontrar números A e B tais que:
1u(1 + u) = Au + B1 + u
Multiplicando ambos os lados por u(1 + u) para eliminar os denominadores:
1 = A(1 + u) + B u

Passo 6

Agora, vamos resolver para A e B. Primeiro, vamos expandir a equação:
1 = A + A u + B u
Agrupando os termos com u:
1 = A + u(A + B)
Para que essa igualdade seja válida para todo valor de u, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então:
A = 1 A + B = 0
Substituindo A = 1 na segunda equação:
1 + B = 0 B = -1

Passo 7

Agora que temos A = 1 e B = -1, podemos escrever a fração parcial:
1u(1 + u) = 1u - 11 + u
Então, a integral se torna:
13 integral ( 1u - 11 + u ) du

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
13 ( integral 1u du - integral 11 + u du )
As integrais de 1u e 11 + u são logaritmos naturais:
13 ( ln|u| - ln|1 + u| ) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 9

Agora, vamos voltar para a variável original x. Lembrando que u = e^3x, substituímos de volta:
13 ( ln|e^3x| - ln|1 + e^3x| ) + C
Simplificando ln|e^3x| para 3x:
13 (3x - ln|1 + e^3x|) + C = x - 13 ln|1 + e^3x| + C

Resposta

integral dx1 + e^3x = x - 13 ln(1 + e^3x) + C

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