Resolva as integrais abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é . A gente vai trabalhar com cálculo integral, especificamente com funções racionais, que são aquelas que têm polinômios no numerador e no denominador. Para resolver isso, vamos precisar fazer uma divisão de polinômios e depois integrar o que sobra usando substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a divisão do polinômio por . Isso porque o grau do numerador (3) é maior que o do denominador (1), e queremos simplificar a fração.

Passo 3

Dividindo por , a gente começa com:
Então, a primeira parte da divisão é .

Passo 4

Agora, multiplicamos pelo divisor :
Subtraímos isso do numerador original:

Passo 5

Continuamos a divisão agora com dividido por :
Multiplicamos pelo divisor:
Subtraímos isso do restante anterior:

Passo 6

Continuamos com dividido por :
Multiplicamos pelo divisor:
Subtraímos:
Esse é o resto da divisão.

Passo 7

Agora, podemos escrever a fração original como:
Então, a integral fica:

Passo 8

Vamos integrar cada termo:
Para a última integral, usamos substituição. Seja , então ou :
Então:

Resposta

Juntando tudo, a solução da integral é:
Onde é a constante de integração.

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