Resolva as integrais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que é
. A gente vai trabalhar com cálculo integral, especificamente com funções racionais, que são aquelas que têm polinômios no numerador e no denominador. Para resolver isso, vamos precisar fazer uma divisão de polinômios e depois integrar o que sobra usando substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a divisão do polinômio
por
. Isso porque o grau do numerador (3) é maior que o do denominador (1), e queremos simplificar a fração.
Passo 3
Dividindo
por
, a gente começa com:
Então, a primeira parte da divisão é
.
Passo 4
Agora, multiplicamos
pelo divisor
:
Subtraímos isso do numerador original:
Passo 5
Continuamos a divisão agora com
dividido por
:
Multiplicamos
pelo divisor:
Subtraímos isso do restante anterior:
Passo 6
Continuamos com
dividido por
:
Multiplicamos
pelo divisor:
Subtraímos:
Esse é o resto da divisão.
Passo 7
Agora, podemos escrever a fração original como:
Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos integrar cada termo:
Para a última integral, usamos substituição. Seja
, então
ou
:
Então:
Resposta
Juntando tudo, a solução da integral é:
Onde
é a constante de integração.
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