Resolva as integrais abaixo. integral x^3 d x2 x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é . A gente vai trabalhar com cálculo integral, especificamente com funções racionais, que são aquelas que têm polinômios no numerador e no denominador. Para resolver isso, vamos precisar fazer uma divisão de polinômios e depois integrar o que sobra usando substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a divisão do polinômio por . Isso porque o grau do numerador (3) é maior que o do denominador (1), e queremos simplificar a fração.

Passo 3

Dividindo x^32x + 1 = x^32x + resto por , a gente começa com:
Então, a primeira parte da divisão é .

Passo 4

Agora, multiplicamos 12x^2 times (2x + 1) = x^3 + 12x^2 pelo divisor x^3 - (x^3 + 12x^2) = -12x^2 :
Subtraímos isso do numerador original:

Passo 5

Continuamos a divisão agora com -12x^22x = -14x dividido por -14x times (2x + 1) = -12x^2 - 14x :
-12x^2 - (-12x^2 - 14x) = 14x
Multiplicamos pelo divisor:
Subtraímos isso do restante anterior:

Passo 6

Continuamos com 14x2x = 18 dividido por 18 times (2x + 1) = 14x + 18 :
14x - (14x + 18) = -18
Multiplicamos pelo divisor:
Subtraímos:
Esse é o resto da divisão.

Passo 7

Agora, podemos escrever a fração original como:
x^32x + 1 = 12x^2 - 14x + 18 - 18(2x + 1)
Então, a integral fica:
integral x^3 , dx2x+1 = integral (12x^2 - 14x + 18) dx - 18 integral 12x + 1 dx

Passo 8

Vamos integrar cada termo:
integral 12x^2 dx = 12 cdot x^33 = 16x^3
integral -14x dx = -14 cdot x^22 = -18x^2
integral 18 dx = 18x
Para a última integral, usamos substituição. Seja integral 12x + 1 dx = 12 integral 1u du = 12 ln|u| = 12 ln|2x + 1| , então - 18 integral 12x + 1 dx = -116 ln|2x + 1| ou :
Então:

Resposta

Juntando tudo, a solução da integral é:
integral x^3 , dx2x+1 = 16x^3 - 18x^2 + 18x - 116 ln|2x + 1| + C
Onde é a constante de integração.

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