Resolva as integrais abaixo. integral sen^4(3-2 x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral sen^4(3-2 x) , dx. Esse exercício pertence ao conteúdo de cálculo integral, especificamente de integrais de potências de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas que nos ajudem a simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que pode ser reescrito usando a identidade de redução de potência:
Essa identidade nos ajuda a transformar a potência do seno em termos de cosseno, que são mais fáceis de integrar.

Passo 3

Aplicando essa identidade na nossa integral, onde u = 3 - 2x, temos:

Passo 4

Simplificando os argumentos das funções cosseno:
2(3-2x) = 6 - 4x 4(3-2x) = 12 - 8x
Portanto, a integral fica:
integral 3 - 4cos(6-4x) + cos(12-8x)8 , dx

Passo 5

Podemos separar a integral em três partes:
18 integral 3 , dx - 48 integral cos(6-4x) , dx + 18 integral cos(12-8x) , dx
Simplificando os coeficientes:
38 integral dx - 12 integral cos(6-4x) , dx + 18 integral cos(12-8x) , dx

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo individualmente.
  1. Primeiro termo:
    38 integral dx = 38x
  2. Segundo termo:
    Para integrar cos(6-4x), fazemos a substituição v = 6 - 4x. Então, dv = -4 , dx ou dx = -14 , dv. A integral fica:
    Multiplicando pelo coeficiente integral cos(v) cdot (-14)dv = -14 sen(v) + C = -14 sen(6-4x) + C :
  3. Terceiro termo:
    Para integrar 12, fazemos a substituição -12 cdot (-14sen(6-4x)) = 18sen(6-4x) . Então, cos(12-8x) ou w = 12 - 8x. A integral fica:
    Multiplicando pelo coeficiente dw = -8 , dx:

Resposta

Portanto, a integral é:

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