Resolva as integrais abaixo. integral sen^5 theta cos ^2 theta d theta

Passo 1

Então, a gente precisa resolver a integral de sin^5 theta cos^2 theta , dtheta. Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar técnicas de substituição e propriedades das funções seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, note que a potência de seno é ímpar ( sin^5 theta). Isso é útil porque podemos separar uma sin theta para facilitar a substituição. Então, escrevemos sin^5 theta como sin^4 theta cdot sin theta.

Passo 3

Agora, usamos a identidade trigonométrica sin^2 theta = 1 - cos^2 theta para reescrever sin^4 theta:
sin^4 theta = (sin^2 theta)^2 = (1 - cos^2 theta)^2
Substituindo isso na integral, temos:
integral sin^5 theta cos^2 theta , dtheta = integral (1 - cos^2 theta)^2 cos^2 theta cdot sin theta , dtheta

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja u = cos theta, então du = -sin theta , dtheta. Isso nos permite reescrever a integral em termos de u:
integral (1 - u^2)^2 u^2 (-du) = -integral (1 - u^2)^2 u^2 , du

Passo 5

Vamos expandir (1 - u^2)^2:
(1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4
Substituindo de volta na integral:
- integral (1 - 2u^2 + u^4) u^2 , du = - integral (u^2 - 2u^4 + u^6) , du

Passo 6

Agora, integraremos termo a termo:
- ( u^33 - 2u^55 + u^77 ) + C

Passo 7

Finalmente, substituímos u = cos theta de volta:
- ( cos^3 theta3 - 2cos^5 theta5 + cos^7 theta7 ) + C

Resposta

A integral é igual a:
-cos^3 theta3 + 2 cos^5 theta5 - cos^7 theta7 + C

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