Resolva as integrais abaixo. integral y^2 d y(y-1)(y^2+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve frações racionais, então vamos precisar usar a técnica de frações parciais para simplificar e resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos decompôr a fração em frações mais simples. A ideia é expressar essa fração como a soma de termos mais fáceis de integrar.

Passo 3

Assumimos que y^2(y-1)(y^2+1) = Ay-1 + By + Cy^2+1 pode ser escrito da seguinte forma:
Agora, vamos encontrar os valores de , e .

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador y^2 = A(y^2+1) + (By + C)(y-1) para eliminar as frações:
y^2 = A y^2 + A + B y^2 - B y + C y - C
Expandindo os termos:
y^2 = (A + B) y^2 + (C - B) y + (A - C)
Agrupando os termos semelhantes:
A + B = 1 C - B = 0 A - C = 0
Agora, igualamos os coeficientes:
Resolvendo o sistema, encontramos que , e .

Passo 5

Substituindo os valores encontrados na decomposição:
y^2(y-1)(y^2+1) = 1y-1 + 0 cdot y + 0y^2+1 = 1y-1
Agora, a integral fica mais simples:
integral 1y-1 , dy = ln|y - 1| + C

Resposta

A integral é igual a .

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