Resolva as integrais abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas, especificamente a função tangente elevada ao cubo. Para resolver, a gente vai precisar usar técnicas de substituição e identidade trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar . Assim, a gente precisa calcular a derivada de em relação a para substituir o diferencial .

Passo 3

Agora, substituímos e na integral original:

Passo 4

Para integrar , vamos usar uma identidade trigonométrica que relaciona o :
Assim, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver cada parte separadamente:
  1. Primeira parte:
    Aqui, fazemos uma substituição onde , então . A integral fica:
  2. Segunda parte:
    Sabemos que
Então, juntando as duas partes:

Passo 6

Voltando à substituição que fizemos no início ( ):
Substituindo de volta:
Simplificando os coeficientes:

Resposta

A integral é igual a:

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