Resolva as integrais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas, especificamente a função tangente elevada ao cubo. Para resolver, a gente vai precisar usar técnicas de substituição e identidade trigonométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar
. Assim, a gente precisa calcular a derivada de
em relação a
para substituir o diferencial
.
Passo 3
Agora, substituímos
e
na integral original:
Passo 4
Para integrar
, vamos usar uma identidade trigonométrica que relaciona o
:
Assim, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver cada parte separadamente:
-
Primeira parte:Aqui, fazemos uma substituição onde
, então . A integral fica: -
Segunda parte:Sabemos que
Então, juntando as duas partes:
Passo 6
Voltando à substituição que fizemos no início (
):
Substituindo
de volta:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
A integral é igual a:
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