Resolva as integrais abaixo. integral tg^3(2-3 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas, especificamente a função tangente elevada ao cubo. Para resolver, a gente vai precisar usar técnicas de substituição e identidade trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar du = -3 , dx Rightarrow dx = -13 du . Assim, a gente precisa calcular a derivada de em relação a para substituir o diferencial .

Passo 3

Agora, substituímos integral tg^3(2-3x) , dx = integral tg^3(u) (-13) du = -13 integral tg^3(u) , du e na integral original:

Passo 4

Para integrar tg^3(u) = tg(u) cdot tg^2(u) = tg(u) cdot (sec^2(u) - 1) , vamos usar uma identidade trigonométrica que relaciona o integral tg^3(u) , du = integral tg(u) cdot sec^2(u) , du - integral tg(u) , du :
Assim, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver cada parte separadamente:
  1. Primeira parte: integral t , dt = t^22 + C = tg^2(u)2 + C
    Aqui, fazemos uma substituição onde integral tg^3(u) , du = tg^2(u)2 + ln|cos(u)| + C , então . A integral fica:
  2. Segunda parte:
    Sabemos que
Então, juntando as duas partes:

Passo 6

Voltando à substituição que fizemos no início ( -13 integral tg^3(u) , du = -13 ( tg^2(u)2 + ln|cos(u)| ) + C ):
-13 ( tg^2(2-3x)2 + ln|cos(2-3x)| ) + C
Substituindo -tg^2(2-3x)6 - 13 ln|cos(2-3x)| + C de volta:
Simplificando os coeficientes:

Resposta

A integral é igual a:
-tg^2(2-3x)6 - 13 ln|cos(2-3x)| + C

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