Resolva as integrais abaixo.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente resolver a integral
. Vamos usar o conteúdo de frações parciais da matéria de cálculo integral para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração
em frações parciais. Isso significa que queremos escrever essa fração como a soma de termos mais simples que a gente consegue integrar facilmente.
Passo 3
Vamos supor que:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados pela expressão denominadora
, temos:
Passo 5
Agora, vamos expandir o lado direito da equação:
Simplificando:
Passo 6
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 7
Para que as duas expressões sejam iguais para todo valor de
, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equa�es:
Passo 8
Resolvendo o sistema:
- Da primeira equação:
A = -B - Da terceira equação:
A + C = 0 Rightarrow C = -A - Substituindo
na segunda equação:A = -B B + (-A) = 1 Rightarrow B + B = 1 Rightarrow 2B = 1 Rightarrow B = 12 - Então,
eA = -12 C = 12
Passo 9
Agora, substituímos os valores encontrados na decomposição:
Simplificando:
Passo 10
Agora, separando as frações:
Passo 11
Vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 12
Calculando cada integral:
-
- 12 integral 1x+1 , dx = -12 ln|x+1| + C1 -
(fazendo a substituição12 integral xx^2+1 , dx = 14 ln|x^2+1| + C2 )u = x^2+1 -
12 integral 1x^2+1 , dx = 12 arctan(x) + C3
Passo 13
Juntando tudo e simplificando as constantes:
Resposta
A integral resolvida é: