Resolva as integrais contendo um trinômio a x^2+b x+c : integral d xx^2-6 x+5

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que tem um trinômio no denominador: . Na matéria, estamos lidando com integrais de funções racionais, e para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e usar a fração parcial.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 -6x +5 = (x -1)(x -5) . Procuramos dois números que multiplicados dão 5 e somados dão -6. Esses números são -1 e -5. Então,

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração 1(x -1)(x -5) = Ax -1 + Bx -5 em frações parciais. Supomos que:

Passo 4

Para encontrar os valores de 1 = A(x -5) + B(x -1) e 1 = A(1 -5) + B(1 -1) Rightarrow 1 = -4A Rightarrow A = -14 , multiplicamos ambos os lados por 1 = A(5 -5) + B(5 -1) Rightarrow 1 = 4B Rightarrow B = 14 :
Agora, escolhemos valores de que simplificam a equação:
  • Se :
  • Se :

Passo 5

Agora que temos 1(x -1)(x -5) = -14 cdot 1x -1 + 14 cdot 1x -5 e integral dxx^2 -6x +5 = -14 integral dxx -1 + 14 integral dxx -5 , substituímos na decomposição:
= -14 ln|x -1| + 14 ln|x -5| + C
Vamos integrar termo a termo:
Sabemos que , então:

Passo 6

Podemos simplificar a expressão combinando os logaritmos:
= 14 ln| x -5x -1 | + C

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados