Resolva as integrais das funções trigométricas: integral sin (5 x) cos (3 x) d x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral da função trigonométrica . Aqui, vamos usar conhecimentos de trigonometria e técnicas de integração para chegar na resposta. Precisaremos entender identidades trigonométricas que nos ajudem a simplificar o produto de seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica que transforma o produto de seno e cosseno em uma soma de senos. A identidade é:
sin(A) cos(B) = 12 [sin(A + B) + sin(A - B)]
Aplicando essa identidade na nossa integral, onde sin(5x) cos(3x) = 12 [sin(5x + 3x) + sin(5x - 3x)] = 12 [sin(8x) + sin(2x)] e :

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral sin(5x) cos(3x) , dx = integral 12 [sin(8x) + sin(2x)] , dx
Podemos separar a integral em duas partes:
12 integral sin(8x) , dx + 12 integral sin(2x) , dx
Vamos integrar cada termo:
  • Para integral sin(8x) , dx = -18 cos(8x) + C :
integral sin(2x) , dx = -12 cos(2x) + C
  • Para :

Passo 4

Substituindo as integrais de volta na expressão:
12 ( -18 cos(8x) ) + 12 ( -12 cos(2x) ) + C
Simplificando:
-cos(8x)16 - cos(2x)4 + C

Resposta

A integral de integral sin(5x) cos(3x) , dx = -cos(8x)16 - cos(2x)4 + C é:

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