Resolva as integrais das funções trigonométricas usando a Substituição Universal t=tan (x2) : integral d xsin (x)-cos (x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a Substituição Universal . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e a técnica de substituição para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de como expressar sin(x) = 2t1 + t^2, cos(x) = 1 - t^21 + t^2 e dx = 21 + t^2 dt em termos de :
Também precisamos da derivada de em relação a :

Passo 3

Substituindo essas expressões na integral original, temos:
integral dxsin(x) - cos(x) = integral 21 + t^2 dt2t1 + t^2 - 1 - t^21 + t^2
Os denominadores são iguais, então podemos simplificar a fração.

Passo 4

Simplificando a parte dentro da integral:
21 + t^2 div (2t - (1 - t^2)1 + t^2) = 22t - 1 + t^2
Agora, a integral ficou mais simples:
integral 2t^2 + 2t - 1 dt

Passo 5

Vamos completar o quadrado no denominador para facilitar a integração:
t^2 + 2t - 1 = (t + 1)^2 - 2
Então, a integral fica:
integral 2(t + 1)^2 - 2 dt

Passo 6

Agora, reconhecemos a forma da integral que se assemelha à integral 2(t + 1)^2 - (raiz2)^2 dt = 22raiz2 ln|t + 1 - raiz2t + 1 + raiz2| + C , cuja solução envolve logaritmos:
1raiz2 ln|t + 1 - raiz2t + 1 + raiz2| + C
Simplificando:

Passo 7

Agora, voltamos para a variável original 1raiz2 ln|tan(x2) + 1 - raiz2tan(x2) + 1 + raiz2| + C usando :

Resposta

A integral 1raiz2 ln|tan(x2) + 1 - raiz2tan(x2) + 1 + raiz2| + C é igual a:

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