Resolva as integrais das funções trigonométricas usando a Substituição Universal :
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral usando a Substituição Universal . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e a técnica de substituição para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de como expressar e em termos de :
Também precisamos da derivada de em relação a :
Passo 3
Substituindo essas expressões na integral original, temos:
Os denominadores são iguais, então podemos simplificar a fração.
Passo 4
Simplificando a parte dentro da integral:
Agora, a integral ficou mais simples:
Passo 5
Vamos completar o quadrado no denominador para facilitar a integração:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, reconhecemos a forma da integral que se assemelha à , cuja solução envolve logaritmos:
Simplificando:
Passo 7
Agora, voltamos para a variável original 1raiz2 ln|tan(x2) + 1 - raiz2tan(x2) + 1 + raiz2| + C usando :
Resposta
A integral 1raiz2 ln|tan(x2) + 1 - raiz2tan(x2) + 1 + raiz2| + C é igual a: