Resolva as integrais das funções trigonométricas usando a Substituição Universal :

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a Substituição Universal . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e a técnica de substituição para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de como expressar e em termos de :
Também precisamos da derivada de em relação a :

Passo 3

Substituindo essas expressões na integral original, temos:
Os denominadores são iguais, então podemos simplificar a fração.

Passo 4

Simplificando a parte dentro da integral:
Agora, a integral ficou mais simples:

Passo 5

Vamos completar o quadrado no denominador para facilitar a integração:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, reconhecemos a forma da integral que se assemelha à , cuja solução envolve logaritmos:
Simplificando:

Passo 7

Agora, voltamos para a variável original usando :

Resposta

A integral é igual a:

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