Use integração por partes para resolver as integrais: integral(x^2+1) sin (x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral(x^2+1) sin (x) ,dx usando o método de integração por partes. Esse método é útil quando temos produtos de funções, como aqui, onde temos um polinômio (x^2 + 1) multiplicado por uma função trigonométrica sin(x). Para isso, vamos precisar lembrar da fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du

Passo 2

Primeiro, escolhemos quais partes da nossa integral vão ser u e dv. Vou escolher:
  • u = x^2 + 1 (porque quando derivamos, a expressão ficará mais simples)
  • dv = sin(x) , dx
Agora, vamos calcular du e v:
  • du = ddx(x^2 + 1) , dx = 2x , dx
  • v = integral sin(x) , dx = -cos(x)

Passo 3

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral(x^2+1) sin (x) ,dx = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= (x^2 + 1)(-cos(x)) - integral (-cos(x)) cdot 2x , dx
Simplificando:
= -(x^2 + 1)cos(x) + 2 integral x cos(x) , dx

Passo 4

Agora, precisamos resolver a nova integral integral x cos(x) , dx usando integração por partes novamente. Escolhemos:
  • u = x
  • dv = cos(x) , dx
Calculando du e v:
  • du = ddx(x) , dx = dx
  • v = integral cos(x) , dx = sin(x)

Passo 5

Aplicando a fórmula novamente:
integral x cos(x) , dx = uv - integral v , du
Substituindo:
= x sin(x) - integral sin(x) , dx
Integrando sin(x):
= x sin(x) + cos(x)

Passo 6

Voltando à nossa expressão anterior:
-(x^2 + 1)cos(x) + 2 integral x cos(x) , dx = -(x^2 + 1)cos(x) + 2 ( x sin(x) + cos(x) )
Distribuindo o 2:
= -(x^2 + 1)cos(x) + 2x sin(x) + 2cos(x)
Simplificando os termos de cos(x):
= -x^2cos(x) - cos(x) + 2x sin(x) + 2cos(x)
= -x^2cos(x) + 2x sin(x) + cos(x)

Resposta

A integral integral(x^2+1) sin (x) ,dx é igual a:
-x^2cos(x) + 2x sin(x) + cos(x) + C
onde C é a constante de integração.

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