Use integração por partes para resolver as integrais: integral x^5(1+4 exp (x^3)) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando integração por partes. Esse método é uma técnica de cálculo que ajuda a integrar produtos de funções. Para isso, vamos precisar identificar partes da integral que correspondem a e na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos distribuir o integral x^5 cdot 1 , dx + integral x^5 cdot 4 exp(x^3) , dx = integral x^5 , dx + 4 integral x^5 exp(x^3) , dx dentro do parêntese para simplificar a integral:
Agora, vamos resolver a primeira integral , que é mais simples.

Passo 3

Integrando integral x^5 , dx = x^66 + C :
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte: integral u , dv = uv - integral v , du . Aqui, vamos usar integração por partes, que segue a fórmula:
Precisamos escolher e de forma que e sejam fáceis de encontrar.

Passo 5

Vamos escolher:
u = x^5 Rightarrow du = 5x^4 , dx
dv = exp(x^3) , dx Rightarrow v = integral exp(x^3) , dx
No entanto, a integral de não é uma função elementar. Isso indica que talvez devêssemos tentar uma substituição diferente ou reavaliar nossa escolha de e .

Passo 6

Vamos tentar uma substituição. Observe que o expoente integral x^5 exp(x^3) , dx = integral x^5 exp(x^3) , dx tem uma derivada x^5 = x^3 cdot x^2 , que ainda não temos na integral, mas podemos ajustar:
integral x^3 cdot x^2 exp(x^3) , dx
Vamos reescrever isso como:
t = x^3 Rightarrow dt = 3x^2 , dx Rightarrow x^2 , dx = dt3
Então temos:
Agora, fazemos a substituição:

Passo 7

Substituindo na integral:
integral x^3 cdot x^2 exp(x^3) , dx = integral x^3 exp(t) cdot dt3 = 13 integral t exp(t) , dt
Agora, aplicamos integração por partes na integral .

Passo 8

Aplicando integração por partes em u = t Rightarrow du = dt :
Escolha:
dv = exp(t) , dt Rightarrow v = exp(t)
integral t exp(t) , dt = t exp(t) - integral exp(t) , dt = t exp(t) - exp(t) + C
Então:
(t - 1) exp(t) + C
Simplificando:

Passo 9

Voltando à nossa substituição anterior onde 13 integral t exp(t) , dt = 13 ( (x^3 - 1) exp(x^3) ) + C :
4 integral x^5 exp(x^3) , dx = 43 (x^3 - 1) exp(x^3) + C
Portanto:

Resposta

A integral x^66 + 43 (x^3 - 1) exp(x^3) + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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