Resolva as integrais definidas:
integral0^pi sen(x) cos ^4(x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida integral0^pi sin(x) cos^4(x) , dx. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas. Para resolver essa integral, vamos precisar usar a substituição como técnica principal.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar a resolução. Observamos que temos sin(x) multiplicando cos^4(x). Isso sugere que podemos usar a substituição onde:
u = cos(x)

Passo 3

Ao fazer essa substituição, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx. Calculando a derivada:
dudx = -sin(x) Rightarrow du = -sin(x) , dx
Isso nos permite reescrever sin(x) , dx como -du.

Passo 4

Agora, substituímos u e du na integral original:
integral0^pi sin(x) cos^4(x) , dx = integralu(0)^u(pi) -u^4 , du
Primeiro, determinamos os novos limites de integração:
  • Quando x = 0: u = cos(0) = 1
  • Quando x = pi: u = cos(pi) = -1
Então, a integral fica:
-integral1^-1 u^4 , du

Passo 5

Podemos inverter os limites de integração trocando os sinais:
-integral1^-1 u^4 , du = integral-1^1 u^4 , du
Agora, vamos integrar u^4:
integral u^4 , du = u^55 + C

Passo 6

Aplicamos os limites de integração:
[ u^55 ]-1^1 = 1^55 - (-1)^55 = 15 - ( -15 ) = 15 + 15 = 25

Resposta

O valor da integral definida é 25.

Exercícios relacionados