Resolva as integrais definidas:
integral0^pi2 sen(x) raizcos (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Isso envolve o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente técnicas de integração. Para resolver essa integral, vamos precisar usar a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para facilitar o cálculo. Observamos que temos dentro da raiz e fora dela. Isso sugere que podemos usar uma substituição onde .

Passo 3

Vamos definir du = -sin(x) , dx Rightarrow -du = sin(x) , dx . Agora, precisamos encontrar . A derivada de é , então:

Passo 4

Agora, vamos mudar os limites de integração de acordo com a substituição:
  • Quando u = cos(0) = 1 : u = cos(pi2) = 0
  • Quando :
Então, a nova integral fica de a .

Passo 5

Substituindo tudo na integral original:
integral0^pi2 sin(x) raizcos(x) , dx = integral1^0 raizu , (-du)
O sinal negativo inverte os limites de integração:
integral1^0 raizu , (-du) = integral0^1 raizu , du

Passo 6

Agora, temos uma integral mais simples:
integral0^1 raizu , du = integral0^1 u^12 , du
Para integrar integral u^n , du = u^n+1n+1 + C , usamos a regra de potência para integrais:
integral u^12 , du = u^3232 = 23 u^32
Aqui, , então:

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
23 u^32 |0^1 = 23 (1^32 - 0^32) = 23 (1 - 0) = 23

Resposta

O valor da integral definida é .

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